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르벡 정리 증명 📂위상수학

르벡 정리 증명

정의

O\mathscr{O} 를 거리공간 (X,d)(X,d) 의 열린 커버라고 하자.

sup⁡{d(a,b) ∣ a,b∈A}<ε\sup \left\{ d(a,b) \ | \ a,b \in A \right\} < \varepsilon 를 만족시키는 모든 부분집합 A⊂XA \subset X 이 어떤 O∈OO \in \mathscr{O} 에 대해 A⊂OA \subset O 를 만족하면 ε>0\varepsilon > 0 를 O\mathscr{O} 에 대한 르벡 수lebesgue number라 한다.

정리 1

  • [1] 르벡 보조정리: XX 가 집적점 컴팩트면 XX 의 모든 열린 커버 O\mathscr{O} 에 대해 르벡 수가 존재한다.
  • [2] 르벡 정리: XX 가 컴팩트면 XX 의 모든 열린 커버 O\mathscr{O} 에 대해 르벡 수가 존재한다.

르벡 수에 대한 설명이 너무 복잡한데 직관적으로 생각해보면 그렇게 어려울 것도 없는 개념이다. 애초에 표기로 ε>0\varepsilon > 0 을 쓴 것부터가 우리가 익히 알고 있던 그것과 닮이 있기 때문이다. 꼭 이 정리뿐만 아니라, 보통 르벡lebesgue의 이름이 붙은 건 거리공간에 대한거구나 하고 생각하면 된다.

컴팩트면 집적점 컴팩트라는 사실만 기억하면 어떤게 정리였고 어떤게 보조정리였는지도 헷갈릴 일이 없다.

증명

[1]

모든 ε>0\varepsilon > 0 에 대해 Bd(x,ε)⊈O∈O B_{d } ( x , \varepsilon ) \nsubseteq O \in \mathscr{O} 를 만족하는 x∈Xx \in X 가 존재한다고 가정해보자.

그러면 모든 n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해 Bd(xn,1n)⊈O∈O B_{d } \left( x_{n} , {{1 } \over {n}} \right) \nsubseteq O \in \mathscr{O} 를 만족하는 xn∈Xx_{n} \in X 가 존재한다. O\mathscr{O} 는 XX 의 열린 커버이므로, Bd(xn,εn)⊂OnB_{d} ( x_{n} , \varepsilon_{n} ) \subset O_{n} 을 만족하는 εn>0\varepsilon_{n} >0 과 xn∈On∈Ox_{n} \in O_{n} \in \mathscr{O} 이 존재한다. 만약 모든 1m<εn\displaystyle {{1} \over {m}} < \varepsilon_{n} 에 대해 xn=xmx_{n} = x_{m} 이면 Bd(xm,1m)=Bd(xn,1m)⊂Bd(xn,εn)⊂On B_{d } \left( x_{m} , {{1 } \over {m}} \right) = B_{d } \left( x_{n} , {{1 } \over {m}} \right) \subset B_{d } \left( x_{n} , \varepsilon_{n} \right) \subset O_{n} 이므로 xn≠xmx_{n} \ne x_{m} 이어야한다. 즉 {xn ∣ n∈N}\left\{ x_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\} 은 무한집합이고, XX 가 집적점 컴팩트이므로 {xn ∣ n∈N}\left\{ x_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\} 는 집적점 a∈Xa \in X 를 가진다. 여기서 O\mathscr{O} 가 XX 의 열린 커버이므로 a∈O∈Oa \in O \in \mathscr{O} 를 만족하는 열린 집합 OO 가 존재한다. OO 가 열린 집합이므로 Bd(a,δ)⊂OB_{d} (a , \delta ) \subset O 를 만족하는 δ>0\delta > 0 가 존재한다. aa 가 {xn ∣ n∈N}\left\{ x_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\} 의 집적점이므로, Bd(a,δ2)\displaystyle B_{d} \left( a , {{\delta} \over {2}} \right) 는 {xn ∣ n∈N}\left\{ x_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\} 의 무한 부분집합을 포함하고 있다. 따라서 1n0<δ2xn0∈Bd(a,δ2) {{1 } \over {n_{0}}} < {{\delta} \over {2}} \\ x_{n_{0}} \in B_{d} \left( a , {{\delta} \over {2}} \right) 을 만족시키는 n0∈Nn_{0} \in \mathbb{N} 이 존재한다. 그런데 임의의 z∈Bd(xn0,1n0)\displaystyle z \in B_{d} \left( x_{n_{0}} , {{1} \over {n_{0}}} \right) 에 대해서 d(a,z)≤d(a,xn0)+d(xn0,z)<δ2+1n0<δ2+δ2=δ d (a,z) \le d(a, x_{n_{0}} ) + d ( x_{n_{0 }} , z) < {{ \delta } \over {2}} + {{1} \over {n_{0}}} < {{ \delta } \over {2}} + {{ \delta } \over {2}} = \delta 이므로 Bd(xn0,1n0)⊂Bd(a,δ)⊂O∈O B_{d} \left( x_{n_{0}} , {{1} \over {n_{0}}} \right) \subset B_{d} (a,\delta) \subset O \in \mathscr{O} 이고, 이는 가정에 모순이다.

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[2]

XX 가 거리 공간이면 XX 가 컴팩트인 것과 집적점 컴팩트인 것은 서로 동치이므로, XX 는 집적점 컴팩트다. [1] 르벡 보조정리에 의해 XX 는 르벡 수를 갖는다.

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  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p175. ↩︎