📂위상수학

르벡 정리 증명

정의

$\mathscr{O}$ 를 거리공간 $(X,d)$ 의 열린 커버라고 하자.

$\sup \left\{ d(a,b) \ | \ a,b \in A \right\} < \varepsilon$ 를 만족시키는 모든 부분집합 $A \subset X$ 이 어떤 $O \in \mathscr{O}$ 에 대해 $A \subset O$ 를 만족하면 $\varepsilon > 0$ 를 $\mathscr{O}$ 에 대한 르벡 수^{lebesgue number}라 한다.

정리 ¹

• [1] 르벡 보조정리: $X$ 가 집적점 컴팩트면 $X$ 의 모든 열린 커버 $\mathscr{O}$ 에 대해 르벡 수가 존재한다.
• [2] 르벡 정리: $X$ 가 컴팩트면 $X$ 의 모든 열린 커버 $\mathscr{O}$ 에 대해 르벡 수가 존재한다.

르벡 수에 대한 설명이 너무 복잡한데 직관적으로 생각해보면 그렇게 어려울 것도 없는 개념이다. 애초에 표기로 $\varepsilon > 0$ 을 쓴 것부터가 우리가 익히 알고 있던 그것과 닮이 있기 때문이다. 꼭 이 정리뿐만 아니라, 보통 르벡^lebesgue의 이름이 붙은 건 거리공간에 대한거구나 하고 생각하면 된다.

컴팩트면 집적점 컴팩트라는 사실만 기억하면 어떤게 정리였고 어떤게 보조정리였는지도 헷갈릴 일이 없다.

증명

[1]

모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $$ B_{d } ( x , \varepsilon ) \nsubseteq O \in \mathscr{O} $$ 를 만족하는 $x \in X$ 가 존재한다고 가정해보자.

그러면 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ B_{d } \left( x_{n} , {{1 } \over {n}} \right) \nsubseteq O \in \mathscr{O} $$ 를 만족하는 $x_{n} \in X$ 가 존재한다. $\mathscr{O}$ 는 $X$ 의 열린 커버이므로, $B_{d} ( x_{n} , \varepsilon_{n} ) \subset O_{n}$ 을 만족하는 $\varepsilon_{n} >0$ 과 $x_{n} \in O_{n} \in \mathscr{O}$ 이 존재한다. 만약 모든 $\displaystyle {{1} \over {m}} < \varepsilon_{n}$ 에 대해 $x_{n} = x_{m}$ 이면 $$ B_{d } \left( x_{m} , {{1 } \over {m}} \right) = B_{d } \left( x_{n} , {{1 } \over {m}} \right) \subset B_{d } \left( x_{n} , \varepsilon_{n} \right) \subset O_{n} $$ 이므로 $x_{n} \ne x_{m}$ 이어야한다. 즉 $\left\{ x_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$ 은 무한집합이고, $X$ 가 집적점 컴팩트이므로 $\left\{ x_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$ 는 집적점 $a \in X$ 를 가진다. 여기서 $\mathscr{O}$ 가 $X$ 의 열린 커버이므로 $a \in O \in \mathscr{O}$ 를 만족하는 열린 집합 $O$ 가 존재한다. $O$ 가 열린 집합이므로 $B_{d} (a , \delta ) \subset O$ 를 만족하는 $\delta > 0$ 가 존재한다. $a$ 가 $\left\{ x_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$ 의 집적점이므로, $\displaystyle B_{d} \left( a , {{\delta} \over {2}} \right)$ 는 $\left\{ x_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$ 의 무한 부분집합을 포함하고 있다. 따라서 $$ {{1 } \over {n_{0}}} < {{\delta} \over {2}} \\ x_{n_{0}} \in B_{d} \left( a , {{\delta} \over {2}} \right) $$ 을 만족시키는 $n_{0} \in \mathbb{N}$ 이 존재한다. 그런데 임의의 $\displaystyle z \in B_{d} \left( x_{n_{0}} , {{1} \over {n_{0}}} \right)$ 에 대해서 $$ d (a,z) \le d(a, x_{n_{0}} ) + d ( x_{n_{0 }} , z) < {{ \delta } \over {2}} + {{1} \over {n_{0}}} < {{ \delta } \over {2}} + {{ \delta } \over {2}} = \delta $$ 이므로 $$ B_{d} \left( x_{n_{0}} , {{1} \over {n_{0}}} \right) \subset B_{d} (a,\delta) \subset O \in \mathscr{O} $$ 이고, 이는 가정에 모순이다.

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[2]

$X$ 가 거리 공간이면 $X$ 가 컴팩트인 것과 집적점 컴팩트인 것은 서로 동치이므로, $X$ 는 집적점 컴팩트다. [1] 르벡 보조정리에 의해 $X$ 는 르벡 수를 갖는다.

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