디리클레 경계 조건이 주어진 열방정식에 대한 초기값 문제의 풀이
설명
$$ \begin{cases} u_{t} = \gamma u_{xx} \\ u(t,0) = u(t,l) = 0 \\ u(0,x) = f(x) \end{cases} $$
위 방정식은 열방정식에서 길이가 $l$ 인 $1$차원 공간 상의 디리클레 경계조건
$$ \begin{cases} u(t,0) = \alpha (t) \\ u(t,l) = \beta (t) \end{cases} $$
이 $\alpha = \beta = 0$으로 주어지고 열분포에 대한 초기 조건이 있는 경우다. 이러한 문제 유형 중에는 가장 쉽고 단순한 형태다. 여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 열의 분포를 나타낸다. $\gamma$는 열확산율로써 크면 클수록 분포의 변화가 빠르다. $f$는 초기 조건으로써 특히 $t=0$일 때 열의 분포를 나타낸다.
풀이
열방정식의 풀이에서 이어진다.
Step 4. $\lambda$ 가 고유값인지 체크
해의 후보가 $u(t,x) = e^{-\lambda t} v(X)$ 인데 디리클레 경계 조건에 의해 $u(t,0) = u(t,l) = 0$ 이므로
$$ e^{-\lambda t} v(0) = e^{-\lambda t} v(l) = 0 $$
따라서 비자명해 $v$ 가 $v(0) = v(l) = 0$ 을 만족시키는지를 확인해야한다.
Case 1. $\lambda < 0$ 어떤 상수 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해
$$ v(x) = c_{1} e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } $$
이므로
$$ v(0) = 0 \implies c_{1} + c_{2} = 0 \\ v(l) = 0 \implies c_{1} e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } l } + c_{2 } e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } l } = 0 $$
이를 동시에 만족시키는 것은 $c_{1} = c_{2} = 0$ 뿐이다. $v(x) = 0$ 이므로 $v$ 가 자명해가 되어 $\lambda$ 는 고유값이 아니게 된다.
Case 2. $\lambda = 0$
어떤 상수 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해 $\displaystyle v(x) = c_{1} + c_{2} x$ 이므로
$$ v(0) = 0 \implies c_{1} = 0 \\ v(l) = 0 \implies c_{1} + c_{2 } l = 0 $$
이를 동시에 만족시키는 것은 $c_{1} = c_{2} = 0$ 뿐이다. $v(x) = 0$ 이므로 $v$ 가 자명해가 되어 $\lambda$ 는 고유값이 아니게 된다.
Case 4. $\lambda \notin \mathbb{R}$
$\lambda = r e^{i \theta}$ 로 나타내도록 하자. 어떤 상수 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해
$$ v(x) = c_{1} \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} } x \right) + c_{2 } \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}} + \pi\right) } x \right) $$
이므로 $v(0) = v(l) = 0$ 에서
$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i {{\theta} \over {2}} } l \right) & \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i \left( {{\theta} \over {2}} + \pi \right) } l \right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$
여기서
$$ \begin{align*} && \det \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i {{\theta} \over {2}} } l \right) & \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i \left( {{\theta} \over {2}} + \pi \right) } l \right) \end{bmatrix} \\ =& \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i \left( {{\theta} \over {2}} + \pi \right) } l \right) - \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i {{\theta} \over {2}} } l \right) \\ &\ne& 0 \end{align*} $$
따라서 $c_{1} = c_{2} = 0$ 이고, $v(x) = 0$ 이므로 $v$ 가 자명해가 되어 $\lambda$ 는 고유값이 아니게 된다.
그러면 Case 1. , Case 2. , Case 4. 에서 $u(t,x) = 0$ 이다.
Case 3. $\lambda > 0$
어떤 상수 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해
$$ v(x) = c_{1} e^{ i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } $$
이므로 $v(0) = v(l) = 0$ 에서
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \cos \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) & \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$
여기서
$$ \det \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \cos \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) & \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) \end{bmatrix} = \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) $$
즉 $\displaystyle \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) = 0$ 가 되도록 하는 $\displaystyle \lambda = \lambda_{n} : = \gamma \left( {{n \pi} \over {l}} \right)^2$ 들만이 고유값이 된다. Case 3. 에서는 Step 5. 로 넘어간다.
Step 5.
$$ u_{n}(t,x) := \exp \left( - {{\gamma n^2 \pi^2 } \over {l^2}} t \right) \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \\ b_{n} := {{1 } \over {l}} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) dx $$
이라고 할 때 $\displaystyle u(t,x) := \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} u_{n} (t,X)$ 이 모든 $x \in [ 0 , l ]$ 에서 수렴한다고 가정하자. 이 해는 열방정식을 풀고 디리클레 경계 조건을 만족시킨다. 풀어쓰면
$$ u(t,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left< f(x) , \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \right> \exp \left( - {{\gamma n^2 \pi^2 } \over {l^2}} t \right) \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) $$
$t=0$ 일 때
$$ u(0,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left< f(x) , \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \right> \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \sim f(x) $$
이므로, 수렴한다면 초기 조건 $f(x) = u(0,x)$ 도 만족한다.
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한편 물리적인 센스로 생각해 봤을 때 풀이과정에서 $\lambda$ 가 양수일 때만 의미를 갖는 것은 당연한 일이다. $\lambda$ 는 확산에 관한 계수기 때문에 이것이 양수가 아닐 수도 있다면 열역학 제2법칙에 위배되는 현상이 비일비재할 것이다.