📂위상수학

볼자노-바이어슈트라스 성질과 집적점 컴팩트

정의 ¹

위상공간 $X$ 의 모든 무한 부분집합의 집적점이 $X$ 에 속하면 $X$ 가 볼자노-바이어슈트라스 성질을 가진다고 하거나 집적점 컴팩트라 한다.

정리

• [1]: 모든 컴팩트 공간은 집적점 컴팩트 공간이다.
• [2]: $X$ 가 거리 공간이면 $X$ 가 컴팩트인 것과 집적점 컴팩트인 것은 서로 동치다.

설명

예를 들어 $[a,b]$ 는 집적점 컴팩트지만 $(a,b)$ 는 집적점 컴팩트가 아니다. 또한 $\mathbb{Q}$ 는 $$P = \left\{ 3 , 3.1 , 3.14 , 3.141, 3.1415, \cdots \right\}$$ 와 같은 무한 부분집합을 생각해보면 $\pi \notin P$ 이므로 집적점 컴팩트가 아니다. $\mathbb{R}$ 은 이러한 부분집합들을 가지므로 당연히 집적점 컴팩트가 아니다.

신기한 것은 집적점 컴팩트라는 이름과 달리 정의에선 컴팩트라는 게 전혀 언급되지 않는다는 것이다. 이름만 보았을 땐 컴팩트 공간 중 특별한 경우를 집적점 컴팩트라고 할 것 같지만, 실제론 그 역인 정리 [1]만이 성립한다.

집적점 컴팩트의 또다른 의의로는 정리 [2]와 같이 어떤 거리 공간이 컴팩트임을 보이는데에 쓸만하다. 거리 공간이 컴팩트임을 보이면 연속 함수의 균등 연속이 보장되므로 유용한 것은 두말할 필요도 없을 것이다.