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버거스 방정식에 대한 리만 문제의 풀이

설명

$$ \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = \begin{cases} a & ,x<0 \\ b & ,x>0 \end{cases} & , t=0 \end{cases} $$

리만 문제란 초기값이 주어진 버거스 방정식 중에서도 그 해를 계단 함수^{step function} 로 갖는 경우를 말한다. 이 때 $a \ne b$ 면 그냥 구한 해의 함숫값이 특정 구간에서 여러개 존재하거나 아예 존재하지 않거나 하게 된다. 따라서 등적률을 적용시키거나 평활화^smoothing 된 해를 구한다.

이렇게 구해진 해들은 랜킨-위고니오 조건과 엔트로피 조건을 만족시킨다.

풀이

• Case 1. $a>b$

  

  파동은 위와 같이 파열하게 된다.

  따라서 등적률을 적용해서 해

  $$ u(t,x) = \begin{cases} a &, x < {{a+b} \over {2}} t \\ b &, x > {{a+b} \over {2}} t \end{cases} $$

  를 얻는다.

• Case 2. $b>a$

  

  파동은 위와 같이 함숫값이 존재하지 않는 구간에서 평활화를 통해 함숫값을 줘야한다.

  따라서 해

  $$ u(t,x) = \begin{cases} a &, x < a t \\ x/t & , at \le x \le bt \\ b &, x \ge b t \end{cases} $$

  를 얻는다.