📂위상수학

가산 컴팩트와 린델뢰프

정의 ¹

1. $X$ 의 모든 가산 열린 커버가 유한 부분 커버를 가지면 $X$ 를 가산 컴팩트^{countably compact}라 한다.
2. $X$ 의 모든 열린 커버가 가산 부분 커버를 가지면 $X$ 를 린델뢰프^lindelöf라 한다.

정리

가산 컴팩트

• [1-1]: 모든 컴팩트 공간은 가산 컴팩트 공간이다.
• [1-2]: 가산 컴팩트성는 위상적 성질이다.

린델뢰프

• [2-1]: 제2가산 공간은 린델뢰프 공간이다.
• [2-2]: $X$ 가 린델뢰프면 $X$ 가 컴팩트인것과 가산 컴팩트인 것은 서로 동치다.

설명

둘 다 컴팩트에서 ‘가산’이 추가되었는데 어디에 추가되었느냐로 달라질 뿐이다. 린델뢰프의 경우 위상수학 전반에서 자주 언급되지는 않지만, 만약 언급되었다면 거의 십중팔구 정리 [2-2]를 이용한다.

가산 컴팩트임을 보이는 게 컴팩트임을 보이는 것보다는 쉽다는 점에서 의미가 있다.