📂위상수학

균등연속 정리

정의

거리공간 $(X, d)$ 와 $(Y, d’)$ 에 대해 $f : X \to Y$ 라고 하자. 모든 $\varepsilon > 0$ 와 $x_{1}, x_{2} \in X$ 에 대해 $$ d(x_{1}, x_{2}) < \delta \implies d’( f( x_{1} ) , f( x_{2} ) ) < \varepsilon $$ 을 만족하는 $\delta > 0$ 가 존재하면 $f$ 를 균등연속^{uniformly Continuous}이라 한다.

설명

해석학에서 배운 연속의 개념이 위상수학에서 일반화되었듯 균등연속 역시 위상수학에서 일반화가 가능하다. 단 여기서 주의해야할 점은 연속처럼 모든 위상공간에서 정의되는 것은 아니고, 오로지 거리 공간에서만 논한다는 것이다.

다음의 정리 역시 해석학에선 익히 알고 있던 사실을 일반화한 것이다.

정리 ¹

$(X,d)$ 가 컴팩트 거리 공간, $(Y,d’)$ 가 거리 공간이고 $f : X \to Y$ 가 연속함수면 $f$ 는 균등연속이다.

증명

$\varepsilon > 0$ 이 주어져 있다고 하자. $f$ 는 연속이므로 각각의 $x \in X$ 에 대해 $$ d (x,y) < \delta_{x} \implies d’ \left( f(x) , f(y) \right) < {{ \varepsilon } \over { 2 }} \qquad , \forall y \in X $$ 를 만족하는 $\delta_{x} > 0$ 가 존재한다. 그러한 $\delta_{x}$ 들에 대해 $\left\{ B_{d} \left( x , {{ \delta_{x} } \over { 2 }} \right) : x \in X \right\}$ 는 $X$ 의 열린 커버고, $X$ 는 컴팩트이므로 $$ X = \bigcup_{i=1}^{n} B_{d} \left( x_{i} , {{ \delta_{x_{i}} } \over { 2 }} \right) $$ 를 만족하는 유한 집합 $\left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\} \in X$ 가 존재한다. 따라서 $$ \delta := \min \left\{ {{ \delta_{x_{1}} } \over { 2 }} , \cdots , {{ \delta_{x_{n}} } \over { 2 }} \right\} $$ 와 같이 $\delta > 0$ 의 존재성을 보장할 수 있다. $ X = \bigcup_{i=1}^{n} B_{d} \left( x_{i} , {{ \delta_{x_{i}} } \over { 2 }} \right)$ 이므로 $x \in X$ 는 어떤 $1 \le j \le n$ 에 대해 $$ x \in B_{d} \left( x_{j} , {{ \delta_{x_{j}} } \over { 2 }} \right) $$ 이어야한다. 따라서 $$ d \left( x_{j} , y \right) \le d \left( x_{j} , x \right) + d (x,y) < {{ \delta_{x_{j}} } \over { 2 }} + \delta \le \delta_{x_{j}} \implies d’ \left( f(x_{j}) , f(y) \right) < {{ \varepsilon } \over { 2 }} \\ d \left( x_{j} , x \right) \le {{ \delta_{x_{j}} } \over { 2 }} < \delta_{x_{j}} \implies d’ \left( f(x_{j}) ,f( x) \right) < {{ \varepsilon } \over { 2 }} $$ 이므로 $d(x , y) < \delta$ 일 때마다 $$ d’ \left( f(x), f(y) \right) < d’ \left( f(x) , f(x_{j}) \right) + d’ \left( f(x_{j}) , f(y) \right) < {{ \varepsilon } \over { 2 }} + {{ \varepsilon } \over { 2 }} = \varepsilon $$ 가 되게끔하는 $\delta > 0$ 가 존재한다. 다시 말해, $f$ 는 균등 연속이다.

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