📂편미분방정식

랜킨-위고니오 조건과 엔트로피 조건

정의

$$ \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases} $$

위 비점성 버거스 방정식의 해가 $u$고 그 파열 시간이 $t_{\ast}$ 라고 하자.

비점성 버거스 방정식의 해가 파열할 때, 위와 같이 왼쪽과 오른쪽의 넓이가 같아지도록 하는 선분으로 이어준다. 이렇게 물리적으로 해석할 수 있도록 해를 조정하는 것을 등적률等積律^{equal area rule}이라 한다.

설명

이렇게 생기는 불연속점의 위치를 $\sigma (t)$ 라고 하면

$$ \begin{cases} \displaystyle u^{+} (t) := \lim_{x \to \sigma (t)^{+}} u(t,x) \\ \displaystyle u^{-} (t) := \lim_{x \to \sigma (t)^{-}} u(t,x)\end{cases} $$

이고, 다음의 조건들을 만족시킨다.

1. 랜킨-위고니오 조건^{rankine-Hugoniot condition}: $\displaystyle \sigma ' (t) = {{d} \over {dt}} \sigma (t) = {{u^{+}(t) + u^{-}(t) } \over {2}}$
2. 엔트로피 조건^{entropy condition}: $u^{+} (t) \le \sigma '(t) \le u^{-} (t)$

풀어서 말해보자면 1. 은 파열 위치의 이동시간이 좌극한과 우극한의 평균으로 나타난다는 것이다.

**2.**는 어찌보면 당연한데, 애초에 $u^{+} (t) \le u^{-} (t)$ 이 아니었다면 파열 자체가 일어나지 않았을 것이기 때문이다. 1. 은 $u$가 해인 것과 필요충분조건인데, 해가 이 조건을 만족시키지 못하면 애초에 잘못 구했음을 확인할 수 있다.