📂측도론

측도론에서의 레비의 정리 증명

정리 ¹

만약 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm < \infty$ 면, $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x)$ 는 거의 어디에서나 수렴하고 르벡적분가능하며 그 적분은 구체적으로 다음과 같다. $$ \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm $$

증명

Part 1. $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x)$ 가 거의 어디에서나 수렴하고 르벡적분가능하다

$\displaystyle \phi (x) := \sum_{k=1}^{\infty} | f_{k} (x) |$ 이라고 정의하면 $\phi$ 는 음이 아닌 가측함수다.

단조 수렴 정리의 따름 정리: 함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 $f_{n} \nearrow f$ 을 만족한다고 하자. 그러면 $$\int \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} dm = \sum_{n=1}^{\infty} \int f_{n} dm$$

단조 수렴 정리에 의해 $$ \displaystyle \int \phi dm = \sum_{n=1}^{\infty} \int | f_{k} | dm $$ 인데 가정에서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm < \infty$ 이었으므로 $\int \phi dm$ 은 유한한 값을 가져 $\phi$ 는 르벡적분가능, 즉 $\phi \in \mathcal{L}^{1}$ 이다. 따라서 $\phi$ 는 거의 어디서나 유한하며, 정의 그 자체에서 $$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| f_{k} \right| = \phi < \infty $$ 이므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} | f_{k } (x) |$ 는 거의 어디서나 수렴해서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k } (x)$ 역시 거의 어디서나 수렴한다. 한편 $$ \begin{align*} \left| \sum_{ k=1 }^{ n } f_{k} (x) \right| \le & \sum_{ k=1 }^{ n } \left| f_{k} (x) \right| \\ \le & \sum_{k=1}^{\infty} \left| f_{k} (x) \right| \\ = & \phi (x) \end{align*} $$ 이므로, 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해서 부등식 $\displaystyle \left| \sum_{ k=1 }^{ n } f_{k} (x) \right| \le \phi (x)$ 이 거의 어디서나 성립한다. 마지막으로 $\phi$ 와 유사하지만 시그마 안쪽에 절대값이 없는 $f$ 를 $$ f(x) := \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x) $$ 와 같이 정의하는데, 이러한 $f$ 는 수렴하지 않는 점에 대해선 그냥 $f(x)$ 으로 두어 르벡적분가능한 함수임을 보장할 수 있다. 이에 따라 $$ \left| \sum_{ k=1 }^{ n } f_{k} \right| \le \phi \qquad , \phi \in \mathcal{L}^{1} \\ f = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f_{k} $$ 이므로 지배 수렴 정리를 사용할 준비가 끝났다.

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Part 2. 구체적인 적분

지배 수렴 정리: 가측집합 $E \in \mathcal{M}$ 와 $g \in \mathcal{L}^{1} (E)$ 에 대해 가측함수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 $E$ 의 거의 어디서나 $|f_{n}| \le g$ 를 만족한다고 하자. 만약 $E$ 의 거의 어디서나 $\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n}$ 이면, $$f \in \mathcal{L}^{1}(E) \\ \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm$$

따라서 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = & \int \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f_{k} dm \\ =& \int f dm \\ =& \lim_{n \to \infty} \int \sum_{k=1}^{n} f_{k} dm \\ =& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int f_{k} dm \\ =& \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm \end{align*} $$

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설명

이탈리아의 수학자 베포 레비^{beppo Levi}에 의해 증명된 이 정리는 함수열의 적분을 놀랍도록 쉽게 풀어준다.

예제

$\displaystyle \int_{0}^{1} \left( {{ \log x } \over {1-x}} \right)^2 dx$ 를 구하라.

풀이

$f_{n} (x) : = n x^{n-1} ( \log x )^2$ 라고 정의하면 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = {{1} \over {(1-x)^2}}$ 이므로 $$ \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} (x) = \left( {{ \log x } \over {1-x}} \right)^2 $$ 이다. 레비의 정리에 의해 $$\int_{0}^{1} f (x) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1} f_{n} (x) dx$$ 인데, 부분적분법에 의해 $$\int_{0}^{1} f_{n} (x) dx = \int_{0}^{1} n x^{n-1} ( \log x )^2 dx = {{2} \over {n^2}}$$ 이다. 따라서 다음을 얻는다. $$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = \sum_{n=1}^{\infty} {{2} \over {n^2}} = {{\pi^2} \over {3}}$$

해설

문제풀이의 핵심은 결국 $ \begin{cases} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} (x) = f(x) \\ \displaystyle \int_{E} f(x) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{E} f_{n} (x) dx \end{cases}$ 를 만족하는 $f_{n}$ 를 찾는 것이다. 이 과정이 결코 만만치 않은 것은 사실이지만, 리만 적분처럼 원시함수를 찾아서 푸는 것 보다야 훨씬 쉬울 것이다.

같이보기

• 확률론에서의 레비 정리