📂기하학

포물선의 초점을 지나는 직선이 가지는 성질

정리

포물선 $y^2 = 4px$ 에 대해 초점 $P(p,0)$ 을 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 $A, B$ 라고 하면 $${{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } = {{1} \over {p}}$$

증명

경우 1. $a=b$

초점을 지나는 직선이 $x = p$ 인 경우다.

$\overline{PA} = \overline{PB} = 2p$ 이므로 $${{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } = {{1} \over {2p}} + {{1} \over {2p}}= {{1} \over {p}}$$

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경우 2. $b \ne a$

일반성을 잃지 않고, $b>a$ 인 경우만 증명하면 충분하다.

$A,B$ 에서 준선으로 내린 선분을 잘 보면 다음과 같은 사다리꼴을 이루고 있음을 알 수 있다.

포물선의 정의에 의해 $\overline{PA} = p + a$ 그리고 $\overline{PB} = p + b$ 이고, 각 선분의 길이는 위와 같이 구해진다. 사다리꼴의 성질에서 비례식 $$\sqrt{4pa} : p+a = \sqrt{4pb} : p+b$$ 을 얻는다. 등식으로 바꾸면 $$(p+b)\sqrt{4pa} = ( p+a ) \sqrt{4pb}$$ 이고, 정리하면 $$a (p+b)^2 = b ( p+a )^2$$ 전개하면 $$a p^2 + 2 ab p + ab^2 = b p^2 + 2 ba p + ba^2 \implies (b-a) ab = (b-a) p^2$$ 즉 $p^2 = ab$ 이다. $$\begin{align*} & {{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } \\ =& {{1} \over {p+a}} + {{1} \over {p+b}} \\ =& {{ 2p + a + b } \over {p^2 + (a+b)p + ab}} \\ =& {{ 2p + a + b } \over {2p^2 + (a+b)p}} \\ =& {{1} \over {p}} \end{align*}$$ 따라서 어떤 경우든 $\displaystyle {{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } = {{1} \over {p}}$ 가 성립한다.

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