컴팩트 공간과 연속함수에 대한 유용한 성질들
정리
$f : X \to Y$ 에 대해 $X$ 가 컴팩트, $f$ 가 연속이라고 하자.
- [1]: $f$ 가 전사면 $Y$ 는 컴팩트다. $f$ 가 전사가 아니더라도 $f(X)$ 는 컴팩트다.
- [2]: $Y$ 가 하우스도르프면 $f$ 는 닫힌 함수다. 닫힌 집합 $C \subset X$ 에 대해 $f(C) \subset Y$ 는 닫힌 집합이다.
- [3]: $f$ 가 전단사고 $Y$ 가 하우스도르프면 $f$ 는 위상동형사상이다.
- [4]: $X$ 가 거리공간이면 $f$ 는 균등연속이다.
설명
별 시덥잖은 성질이 다 있다는 생각이 들겠지만 최대최소값 정리를 증명할 때 쓰이는 등 쓰임새가 많다.
[1]
컴팩트가 연속함수를 취했을 때 여전히 보존되는 성질임을 의미한다.
[2]
닫힘에 대한 이야기를 하고 있지만 하우스도르프에 대한 이야기인만큼 여기저기 잘 쓰인다. 모든 거리 공간은 $T_{2}$ 공간이므로 어지간하면 통한다고 봐도 좋다.
[3]
조건이 많지만 위상동형사상의 정의에서 역함수 역시 연속임을 내포한다는 것이 포인트다. 역함수의 연속성을 직접 체크하는 것보다 정의역과 공역의 위상적 성질을 파악하는 것이 쉽다면 아주 유용할 것이다.
[4]
균등연속은 원래 거리공간에서만 논하는 개념인데, $X$ 가 컴팩트 공간이 되면 $f$ 가 연속성뿐만 아니라 균등연속성까지 가짐을 보장하므로 유용하다. 컴팩트와 연속은 아주 다른 개념에서 출발하지만, 이처럼 여러가지로 많이 얽혀있어 뗄레야 뗄 수가 없다.