클레로 미분방정식의 풀이
정의
아래의 1계 비선형 미분방정식을 클레로 방정식Clairaut equation이라 한다.
$$ y=xy^\prime+f(y^\prime ) $$
설명
클레로 미분방정식은 같은 비선형 미분방정식인 베르누이 미분방정식이나 리카티 미분방정식 보다는 풀기 쉬운 편이다.
풀이
주어진 미분방정식 $y=xy^\prime+f(y^\prime )$의 양변을 미분한 뒤 정리한다.
$$ \begin{align*} && y^\prime = y^\prime+xy^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}f^\prime(y^\prime ) \\ \implies && xy^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}f^\prime(y^\prime )=0 \\ \implies && y^{\prime \prime} \left[ x + f^\prime ( y^\prime) \right]=0 \end{align*} $$
Case 1. $y^{\prime \prime}=0$
이 경우에는 $y=ax+b$를 바로 얻을 수 있다. $a,\ b$는 임의의 상수이다. 주어진 미분방정식에 대입하면
$$ \begin{align*} && ax+b=xa+f(a) \\ \implies &&b=f(a) \end{align*} $$
따라서 일반해는 $y=ax+f(a)$. 초기조건이 있다면 상수 $a$를 정확하게 구할 수 있다.
Case 2. $x+f^\prime (y^\prime )=0$
$x$나 $y^\prime$으로 정리하여 주어진 미분방정식과 연립하여 해를 구한다.
■
아래의 예제를 통해 자세한 풀이법을 확인해보자.
예제
미분방정식 $y = xy^\prime + (y^\prime )^2$을 풀어라.
양 변을 미분하면
$$ \begin{align*} &&y^\prime =y^\prime + xy^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}2y^\prime \\ \implies && xy^{\prime \prime} + 2y^{\prime \prime}y^\prime =0 \\ \implies && y^{\prime \prime} \left[ x+2y^\prime \right] =0 \end{align*} $$
Case 1. $y^{\prime \prime}=0$인 경우
$y=ax+b$이고 $y^\prime =a$이다. 주어진 미분방정식에 대입하면 $$ \begin{align*} && ax+b&=ax+a^2 \\ \implies && b&=a^2 \end{align*} $$
따라서
$$ y=ax+a^2 $$
Case 2. $x+2y^\prime =0$인 경우
$y^\prime$에 대해 정리하면
$$ y^\prime = 1\frac{1}{2}x $$
주어진 미분방정식에 대입하면
$$ \begin{align*} y&=x\left(- \frac{1}{2}x \right) + \left( \frac{1}{4} x^2 \right) \\ &=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}x^2 \\ &=-\frac{1}{4}x^2 \end{align*} $$
따라서
$$ y=-\frac{1}{4}x^2 $$
■