리카티 미분방정식의 풀이
📂상미분방정식리카티 미분방정식의 풀이
정의
아래의 1계 비선형 미분방정식을 리카티 방정식Ricatti equation이라 한다.
y′=P(x)y+Q(x)y2+R(x)
설명
y1을 이미 알고있는 특별해particular solution라고 하면 일반해는 y=y1+u(x) 꼴로 나타내진다. 이 때 u(x)는 임의의 상수이며 n=2일 때의 베르누이 미분방정식을 풀어서 얻을 수 있다.
풀이
리카티 방정식은 겉으로 봤을 때 너무 복잡해서 풀기 어렵다.따라서 간단한 트릭을 써서 우리가 풀기 쉬운 모양으로 바꿔서 풀어야 한다.
Step 1.
y1을 임의의 특별해라고 하자.이 특별해를 얻는 방법은 따로 있는 것이 아니며 직관과 눈썰미 혹은 여러번의 시도로 얻어야 한다. y에 2 넣으면 될 것 같은데? 3x 넣으면 될 것 같은데? 하는 식으로 얻어야 한다. 그리고 일반해를 y=y1+u(x)꼴이라고 가정하자. u(x)는 임의의 상수이다.
Step 2.
주어진 미분방정식에 y=y1+u를 대입하면
⟹y1′+u′=P(y1+u)+Q(y1+u)2+Ry1′+u′=P(y1+u)+Q(y12+2y1u+u2)+R
우변을 정리하면
y1′+u′=(Py1+Qy12+R)+(P+2Qy1)u+Qu2
Step 3.
이 때 y1이 주어진 미분방정식의 해이므로 y1′=Py1+Qy12+R을 만족한다. 따라서 좌우변의 공통된 항을 소거하면 아래와 같다.
u′=(P+2Qy1)u+Qu2
이는 베르누이 미분방정식에서 n=2일 때와 같은 꼴이다. 따라서 베르누이 미분방정식의 풀이법으로 u(x)를 구할 수 있다. 그러고 나면 최종적으로 주어진 미분방정식의 일반해 y=y1+u(x)를 얻게 된다.
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예제
미분방정식 y′=2−2xy+y2를 풀어라.
y에 2x를 대입하면 성립하므로 y1=2x라고 둘 수 있다. 그러면 일반해는
y=y1+u(x)=2x+uy′=2+u′
주어진 미분방정식에 대입하면
⟹⟹⟹2+u′2+u′u′u′–2xu=2–2x(2x+u)+(2x+u)2=2−4x2−2xu+4x2+4xu+u2=2xu+u2=u2
즉, 베르누이 방정식에서 n=2인 꼴이다.
베르누이 방정식
u′+(1−n)pu=q(1−n)
양변을 u2로 나누면
u−2u′–2xu−1=1
여기서 w≡u1−n=u−1라고 치환하고 베르누이 방정식을 풀면 dxdw=−u−2dxdu이므로
⟹⟹−w′–2xww′+2xww=1=−1=e−x2[−∫ex2dx+C]
그런데 위에서 w=u−1라고 치환했으므로
u=C−∫ex2dxex2
따라서 최종적으로 일반해는 다음과 같다.
y=y1+u(x)=2x+C−∫ex2dxex2
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