📂상미분방정식

2계 미분방정식의 두 번째 해를 구하는 방법

설명¹

$$ \begin{equation} y^{\prime \prime }+p(t)y^{\prime} + q(t)y=0 \end{equation} $$

위와 같은 미분방정식이 주어졌고, 하나의 해 $y_{1}$을 알고 있다고 하자. 일반해를 $y(t)=\nu (t) y_{1}(t)$라고 가정하자. $y$의 1계, 2계 미분을 구해보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} y^{\prime} &= \nu^{\prime} y_{1} + \nu y_{1}^{\prime} \\ y^{\prime \prime} &= \nu ^{\prime \prime}y_{1} + \nu^{\prime} y_{1}^{\prime} + \nu^ \prime y_{1}^{\prime} + \nu y_{1}^{\prime \prime} \\ &= \nu ^{\prime \prime}y_{1} + 2\nu^{\prime} y_{1}^{\prime} + \nu y_{1}^{\prime \prime} \end{align*} $$

$y^{\prime}$, $y^{\prime \prime}$을 $(1)$에 대입하면,

$$ \nu^{\prime \prime}y_{1} + 2\nu^{\prime} y_{1}^{\prime} + \nu y_{1} ^{\prime \prime} + p \left( \nu^{\prime} y_{1} + \nu y_{1}^{\prime} \right) + q\nu y_{1}=0 $$

$\nu$에 대해서 정리하면,

$$ \begin{equation} \nu \left( y_{1} ^{\prime \prime} + py_{1}^{\prime} + qy_{1} \right) + \nu^{\prime} \left( 2y_{1}^{\prime} + py_{1} \right) + \nu ^{ \prime \prime} y_{1}=0 \end{equation} $$

이 때 $y_{1}$은 $(1)$의 해이므로 $y_{1}^{\prime \prime} + py_{1}^ \prime + qy=0$이다. 따라서 $(2)$의 첫 번째 항은 $0$이고 다시 정리하면 $$ \nu^{\prime} \left( 2y_{1}^{\prime} + py_{1} \right) + \nu ^{ \prime \prime}y_{1}=0 $$

이 때 미분방정식의 계수를 낮추기 위해서 $\nu^{\prime} \equiv w$라고 치환하자. 그러면 식은 아래와 같이 1계 미분방정식이 되어 계수가 낮아진다.

$$ w \left( 2y_{1}^{\prime}+ py_{1} \right) + w^{\prime} y_{1}=0 $$

변수분리 등을 이용해서 새로이 얻은 $w$에 대한 미분방정식을 풀면 두 번째 해와 일반해를 얻을 수 있다.예제를 통해 구체적으로 알아보자.

예제

$2t^2 y^{\prime \prime} + 3ty^{\prime} –y=0$, $t>0$, $y_{1}=t^{-1}$일 때 두 번째 해와 일반해를 구하라.

$y=\nu t^{-1}$이라고 하면

$$ y^{\prime} = \nu^{\prime} t^{-1} - \nu y^{-2} \\ y^{\prime \prime } = \nu ^{\prime \prime} t^{-1} - 2v^{\prime} t^{-2}+ 2\nu t^{-3} $$

주어진 미분방정식에 대입하면

$$ 2t^2 \left( \nu ^{\prime \prime} t^{-1} + 2\nu t^{-3} - 2\nu^{\prime} t^{-2} \right) +3t \left( \nu^{\prime} t^{-1} - \nu t^{-2} \right) -\nu t^{-1} = 0 $$

$\nu$ 에 대해서 정리하면 $\nu$항은 $0$이므로

$$ 2t\nu^{\prime \prime} -\nu^{\prime} =0 $$

이 때 $\nu^{\prime} \equiv w$라고 치환하면

$$ \begin{align*} && 2tw^{\prime} –w&=0 \\ \implies && 2t w^{\prime} &=0 \\ \implies && \dfrac{1}{w}dw &= \dfrac{1}{2t}dt \\ \implies && \ln w &= \dfrac{1}{2} \ln t + C = \ln t ^{1/2} +C \\ \implies && w &= Ce^{\ln t^{1/2}} = Ct^{1/2} \\ \implies && \nu^{\prime} &= w=Ct^{1/2} \\ \implies && \nu &= \frac{2}{3}Ct^{\frac{3}{2}} + k \end{align*} $$

$y=\nu y_{1}=\nu t^{-1}$이므로

$$ \begin{align*} && y &=\left( \frac{2}{3}Ct^{\frac{3}{2}} + k \right) t^{-1} \\ \implies && y&=\frac{2}{3}Ct^{\frac{1}{2}} + kt^{-1} \end{align*} $$

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