르벡 적분가능
📂측도론 르벡 적분가능 정의 E ∈ M E \in \mathcal{M} E ∈ M 가측함수 f f f f + : = max { f , 0 } f − : = max { − f , 0 } f^{+} := \max \left\{ f , 0 \right\}
\\ f^{-} := \max \left\{ -f , 0 \right\} f + := max { f , 0 } f − := max { − f , 0 } f = f + − f − ∣ f ∣ = f + + f −
f = f^{+} - f^{-}
\\ | f | = f^{+} + f^{-}
f = f + − f − ∣ f ∣ = f + + f − ∫ E ∣ f ∣ d m < ∞ \displaystyle \int_{E} | f | dm < \infty ∫ E ∣ f ∣ d m < ∞ ∫ E f + d m < ∞ ∫ E f − d m < ∞
\int_{E} f^{+} dm < \infty
\\ \int_{E} f^{-} dm < \infty
∫ E f + d m < ∞ ∫ E f − d m < ∞ f f f 르벡 적분가능 lesbegue Integrable 이라 한다. E E E L 1 ( E ) : = { f ∣ ∫ E ∣ f ∣ d m < ∞ }
\mathcal{L}^{1}(E) : = \left\{ f \ \left| \ \int_{E} | f | dm < \infty \right. \right\}
L 1 ( E ) := { f ∫ E ∣ f ∣ d m < ∞ }
기초 성질 [1]: 적분가능 함수는 가측 함수다. [2]: f ∈ L 1 ( E ) f \in \mathcal{L}^{1} (E) f ∈ L 1 ( E ) ∣ ∫ E f d m ∣ ≤ ∫ E ∣ f ∣ d m \displaystyle \left| \int_{E} f dm \right| \le \int_{E} | f | dm ∫ E fd m ≤ ∫ E ∣ f ∣ d m [3]: f ∈ L 1 ( E ) f \in \mathcal{L}^{1} (E) f ∈ L 1 ( E ) c ∈ R c \in \mathbb{R} c ∈ R ∫ E ( c f ) d m = c ∫ E f d m \displaystyle \int_{E} (c f) dm = c \int_{E} f dm ∫ E ( c f ) d m = c ∫ E fd m [4]: f , g ∈ L 1 ( E ) f,g \in \mathcal{L}^{1} (E) f , g ∈ L 1 ( E ) ∫ E ( f + g ) d m = ∫ E f d m + ∫ E g d m \displaystyle \int_{E} ( f + g ) dm = \int_{E} f dm + \int_{E} g dm ∫ E ( f + g ) d m = ∫ E fd m + ∫ E g d m [5]: f , g ∈ L 1 ( E ) f,g \in \mathcal{L}^{1} (E) f , g ∈ L 1 ( E ) f ≤ g f \le g f ≤ g ∫ E f d m ≤ ∫ E g d m \displaystyle \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm ∫ E fd m ≤ ∫ E g d m [6]: 모든 E ∈ M E \in \mathcal{M} E ∈ M ∫ E f d m = ∫ E g d m \displaystyle \int_{E} f dm = \int_{E} g dm ∫ E fd m = ∫ E g d m 거의 어디서나 f = g f= g f = g 설명 성질 [1]이 정의 바로 아래에 나오니까 쉬워보이지만 조금 지나면 헷갈릴 수 있으니 입에 익도록 외워두자.
한편 [3]~[5]에서 L 1 ( E ) \mathcal{L}^{1}(E) L 1 ( E ) 벡터 공간 임을 알 수 있다.
