포물선의 접선의 방정식 유도
유도
기울기가 주어진 경우
우선은 기울기가 주어진 경우를 먼저 보도록 하자.
포물선 $y^{ 2 }=4px$ 에 접하는 직선의 방정식이 $y=mx+n$일 때, 두 도형은 한 점에서만 만나야 하므로 $$ (mx+n)^{ 2 }=4px \implies m^{ 2 }x^{ 2 }+2(mn-2p)x+n^{ 2 }=0 $$ 근의 공식에 따라 $$ \frac { D }{ 4 }=m^{ 2 }n^{ 2 }-4mnp+4p^{ 2 }-m^{ 2 }n^{ 2 }=0 $$ 위 식을 정리하면 $n=\frac { p }{ m }$ 이고, 이를 직선의 방정식에 대입하면 포물선에 접하는 직선의 방정식은 다음과 같이 구해진다. $$ y=mx+\frac { p }{ m } $$
한 점이 주어진 경우
다음은 한 점이 주어진 경우다. 그런데 본래의 엄밀한 증명은 지나치게 단순무식해서 유도 과정이 별 도움이 안 되니, 조금 허술하지만 미분을 사용한 다른 유도를 소개한다.
직선 $y=mx+\frac { p }{ m }$ 은 포물선 $y^{ 2 }=4px$ 의 접선이다. $y^{ 2 }=4px$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2y\prime y=4p$ 포물선 위의 점 $(x_{ 1 },y_{ 1 })$ 에서 $y\prime =\frac { 2p }{ y_{ 1 } }$ $y\prime$ 는 직선 $y=mx+\frac { p }{ m }$ 의 기울기와 같으므로 $$ y=\frac { 2p }{ y_{ 1 } }x+\frac { y_{ 1 } }{ 2p }p $$ 위 식의 양변에 $y_{ 1 }$ 을 곱하면 $$ y_{ 1 }y=2px+\frac { y_{ 1 }^{ 2 } }{ 2 } $$ 이다. 점 $(x_{ 1 },y_{ 1 })은$ 포물선 위의 점이므로 $y_{ 1 }^{ 2 }=4px_{ 1 }$ 을 위 식에 대입하면 $$ y_{ 1 }y=2px+\frac { 4px_{ 1 } }{ 2 } $$ 이다. 따라서 점 $(x_{ 1 },y_{ 1 })$ 을 지나는 접선의 방정식은 다음과 같이 구해진다. $$ y_{ 1 }y=2p(x_{ 1 }+X) $$