📂위상수학

컴팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다

정리 ¹

• [1]: 컴팩트 공간의 닫힌 부분 집합은 컴팩트다.
• [2]: 하우스도르프 공간의 컴팩트 부분 집합은 닫힌 집합이다.
• [3]: 하우스도르프 공간 $X$ 의 두 컴팩트 부분 집합 $A,B \subset X$ 가 $A \cap B = \emptyset$ 이면 다음을 만족하는 열린 부분 집합 $U, V \subset X$ 가 존재한다. $$ A \subset U \\ B \subset V \\ U \cap V = \emptyset $$
• [4]: 컴팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다.

설명

정리 [1]과 [2]에서 하우스도르프 공간의 컴팩트 부분 집합은 닫힌 집합임을 바로 알 수 있다. 한편 정리 [4]에서 컴팩트라는 것은 $T_{4} \implies T_{2}$ 의 역을 성립시키기 위한 추가 조건이 됨을 알 수 있다.

증명

[1]

컴팩트 공간 $X$ 에 대해 $A \subset X$ 가 $X$ 에서 닫힌 집합, $\mathscr{O}$ 를 $A$ 의 열린 커버라고 하자.

$A$ 는 닫힌 집합이므로 $\mathscr{O}’ : = \mathscr{O} \cup \left\{ X \setminus A \right\}$ 역시 $X$ 의 열린 커버다. $X$ 는 컴팩트이므로 $$ A \subset X \subset \bigcup_{i=1}^{n} O_{i} $$ 를 만족하는 유한 열린 커버 $\left\{ O_{i} \right\}_{i=1}^{n}$ 가 존재한다. 따라서 $A$ 는 컴팩트다.

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[2]

하우스도르프 공간 $X$ 에 대해 $A \subset X$ 가 컴팩트, $x \in X \setminus A$ 라고 하자.

$X$ 는 하우스도르프 공간이므로 모든 $y \in A$ 에 대해서 $$ y \in U_{y} \\ x \in V_{y} \\ U_{y} \cap V_{y} = \emptyset $$ 을 만족하는 열린 집합 $U_{y}, V_{y} \subset X$ 가 존재한다. $A$ 는 컴팩트 부분집합이므로 어떤 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ A \subset \bigcup_{i=1}^{n} U_{y_{i}} $$ 를 만족하는 $\left\{ y_{i} \right\}_{i=1}^{n}$ 이 존재한다. 집합 $U, V$ 를 $$ U := \bigcup_{i=1}^{n} U_{y_{i}} \\ \displaystyle V := \bigcap_{i=1}^{n} V_{y_{i}} $$ 와 같이 정의하면 $U,V \subset X$ 는 열린 집합이고 $U \cap V = \emptyset$ 이다. 한편 $x \in V$ 그리고 $A \subset U$ 이므로 $$ x \in V \subset (X \setminus U) \subset (X \setminus A) $$ 따라서 모든 열린 집합 $V \subset \left( X \setminus A \right)$ 의 합집합 $\displaystyle \bigcup_{V \subset (X \setminus A)} V = X \setminus A$ 는 열린 집합이고, $A$ 는 닫힌 집합이다.

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[3]

하우스도르프 공간 $X$ 에 대해 컴팩트 부분 집합 $A,B \subset X$ 가 $A \cap B = \emptyset$ 이라고 하자.

그러면 $x \in B$ 에 대해 $$ A \subset U_{x} \\ x \in V_{x} \\ U_{x} \cap V_{x} = \emptyset $$ 을 만족하는 열린 집합 $U_{x}, V_{x} \subset X$ 가 존재한다. 또한 $B$ 는 컴팩트이므로 $\displaystyle B \subset \bigcup_{i=1}^{n} V_{x_{i}}$ 를 만족하는 $\left\{ x_{i} \right\}_{i=1}^{n}$ 가 존재한다. 집합 $U, V$ 를 $$ U := \bigcap_{i=1}^{n} U_{x_{i}} \\ \displaystyle V := \bigcup_{i=1}^{n} V_{x_{i}} $$ 와 같이 정의하면 열린 집합 $U, V$ 는 다음을 만족한다. $$ U \cap V = \emptyset \\ A \subset U \\ B \subset V $$

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[4]

컴팩트 하우스도르프 공간 $X$ 에 대해 $A,B \subset X$ 가 $A \cap B = \emptyset$ 인 $X$ 의 부분 집합이라고 하자.

$X$ 는 컴팩트 공간이므로 $A,B \subset X$ 는 컴팩트 부분집합이고, 정리 [2]에 따라 $A,B$ 는 $X$ 에서 닫힌 부분 집합이다. 또한 $X$ 는 하우스도르프 공간이므로 정리 [3]에 따라 컴팩트 부분집합 $A,B \subset X$ 에 대해 $$ A \subset U \\ B \subset V \\ U \cap V = \emptyset $$ 을 만족하는 열린 부분 집합 $U,V \subset X$ 가 존재한다. 따라서 $X$ 는 정규 공간이다.

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한편 정리 [1], [2]에서 다음의 따름 정리를 얻는다.

따름정리

컴팩트 하우스도르프 공간 $X$ 에 대해 $A \subset X$ 이 $X$ 에서 닫힌 집합인 것과 컴팩트인 것은 동치다.