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레벤슈타인 알고리즘

알고리즘

Input

문자열 $A,B$ 를 $A=[a_{i}]=(a_{1}, a_{2} , \cdots, a_{n})$ 과 $B=[b_{j}]=(b_{1}, b_{2} , \cdots, b_{m})$ 로 표현하자.

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Step 1. 초기화

행렬 $M_{(n+1) \times (m+1)} = [m_{x y }]$ 를 만들고 $M_{11} ← 0$ 을 대입한다. 그리고 $1$행과 $1$열을 다음과 같이 채운다. $$ M_{(i+1) 1} ← i \\ M_{ 1 (j+1)} ← j $$

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Step 2. 동적 계획법

for $i = 1, 2, \cdots , n$ and $j=1,2, \cdots , m$

　　if $a_{i}==b_{j}$

　　　　$M_{i,j} ← M_{(i-1)(j-1)}$

　　else

　　　　$M_{i,j} ← \min \left\{ M_{(i-1)(j)}, M_{(i)(j-1)}, M_{(i-1)(j-1)}\right\} + 1 $

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Output

$A$, $B$ 의 최소 수정 거리는 $m_{nm}$ 이다.

설명

편집 거리 란 두 문자열 간의 유사성을 보여주는 척도로써 $A$ 에서 $B$ 로 바꾸는데 몇번이나 걸리나를 나타낸다. 그 중에서 레벤슈타인 거리^{levenstein distance}는 삽입^insertion, 제거^deletion, 교체^replace 세가지 편집을 허용하고, 전치^{transposition}는 허용하지 않는다.

예시

예를 들어 ‘cats’ 와 ‘facts’ 라는 문자열이 있다고 하면

1. (교체) cats → fats2. (삽입) fats → facts

와 같이 총 두 번 수정되어 수정 거리는 $2$ 임을 알 수 있다.

다만 이러한 수정 거리는 얼마든지 길게 측정될 수 있는데, cats → ats → fats → facts 와 같이 비효율적인 방법도 있기 때문이다. 레벤슈타인 알고리즘은 이러한 수정거리가 가장 작아지도록 구하는 방법이다.

코드

R

위 스크린샷은 아래의 R 코드로 예제를 풀어본 모습이다.

LED<-function(A,B)
{
  A<-strsplit(A,'')[[1]]
  B<-strsplit(B,'')[[1]]
  lA<-length(A)
  lB<-length(B)
  
  M<-matrix(NA,ncol=lA+1,nrow=lB+1,dimnames = list(c('',B),c('',A)))
  M[1,]<-0:lA
  M[,1]<-0:lB
  
  for(i in (1:lB)+1)
  {
    for(j in (1:lA)+1)
    {
      if (B[i-1]==A[j-1])
      {
        M[i,j]<-M[i-1,j-1]
      }
      else
      {
        M[i,j]<-min(M[i-1,j-1],M[i,j-1],M[i-1,j])+1
      }
    }
  }
 
  return(list(distance=c(M[lB+1,lA+1]),matrix=M))
}
 
LED("cats","facts")

파이썬

다음은 같은 코드를 파이썬으로 작성한 것이다.

def ED(a,b) :
    a = ":".join(a)
    A = a.split(":")
    a = len(A)
    b = ":".join(b)
    B = b.split(":")
    b = len(B)
    M = [[j for i in range(a+1)] for j in range(b+1)]
    M[0] = [i for i in range(a+1)]
    for i in (range(1,b+1)) :
        for j in (range(1,a+1)) :
            if B[i-1]==A[j-1] :
                M[i][j] = M[i-1][j-1]
            else :
                M[i][j] = min(M[i-1][j-1],M[i][j-1],M[i-1][j]) + 1
    return M[b][a]