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코시-슈바르츠 부등식 증명

정리

$$({a}^{2}+{b}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})\ge { (ax+by) }^{ 2 }$$

증명

$$\begin{align*} & ({a}^{2}+{b}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})-{ (ax+by) }^{ 2 } \\ =& {a}^{2}{x}^{2}+{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}+{b}^{2}{y}^{2}-{ (ax+by) }^{ 2 } \\ =& {b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}-2axby \\ =& { (ay-bx) }^{ 2 } \\ \ge& 0 \end{align*}$$ 이므로, 정리하면 다음을 얻는다. $$({a}^{2}+{b}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})\ge { (ax+by) }^{ 2 }$$

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설명

빠르게는 고등학교 과정부터 접하게 되는 부등식으로, 분야를 가리지 않고 여러 곳에서 쓰이고 있다. 대수적인 증명은 매우 간단하다.

증명과정에서 알 수 있듯 등호가 성립하는 경우는 $ay-bx=0$인 경우 뿐이다. 코시-슈바르츠 부등식은 증명 중에 나타나는 항을 포함해 등식의 형태로 나타낼 수도 있다.

$$({a}^{2}+{b}^{2})({x}^{2}+{y}^{2})={ (ax+by) }^{ 2 }+{ (ay-bx) }^{ 2 }$$

이는 어떤 제곱수의 합이 다른 제곱수의 합들의 곱으로 나타날 수 있음을 암시한다.

일반화

• 일반화된 증명