동차함수와 1계 미분방정식
정의
함수 $f(x,y)$가 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 $f(tx,ty)=t^nf(x,y)$를 만족할 때, $f$를 $n$차 동차함수homogeneous function라고 한다.
설명
분리가능한 1계 미분방정식에서 1계 미분방정식 풀이의 핵심은 분리가능한 형태로 만들어주는 것이라고 했다. 주어진 식에서 바로 분리가능하지 않더라도 여러 방법을 통해 식을 변형하여 분리가능한 형태로 만들어줄 수 있다. 동차함수가 포함된 미분 방정식이 바로 그 예이다. 겉으로 보기엔 분리가능하지 않아도 치환을 통해 분리가능한 형태로 만들어 줄 수 있다.
한편 정의를 쉽게 말하자면 각 항의 차수의 합이 모두 같은 함수이다. 가령 $f(x,y)=x^2y+xy^2$인 경우에 다음과 같이 정리된다.
$$ f(tx,ty)=(tx)^2(ty)+(tx)(ty)^2=t^3x^2y+t^3xy^2=t^3(x^2y+xy^2)=t^3f(x,y) $$
따라서 함수 $f$는 3차 동차함수이다. 1계 미분방정식에 동차함수가 포함돼 있으면 항상 분리가능한 꼴로 변형된다.
정리
다음과 같은 1계 미분방정식
$$ f(x,y)dx+g(x,y)dy=0 $$
에서 $f(x,y)$와 $g(x,y)$가 같은 차수의 동차함수일 때 항상 분리가능한 미분방정식 꼴로 표현할 수 있다. 혹은 1계 미분방정식 $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$에서 $f(x,y)$가 동차함수일 때, 즉 $f(\frac{y}{x})$로 표현할 수 있을 때 항상 분리가능한 꼴로 바꿔줄 수 있다.
증명
$$ f(x,y)dx+g(x,y)dy=0 $$
이 때 $y \equiv ux$로 치환하면 $u=\dfrac{y}{x}$, $dy=udx+xdu$이므로 주어진 미분방정식은 다음과 같다.
$$ f(x,y)dx+g(x,y)[udx+xdu]=0 $$
또한 $f, g$가 동차함수 이므로 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} f(x,y) &= f(x\cdot 1,x \cdot \frac{y}{x})=x^n f(1,\frac{y}{x})=x^n f(1,u) \\ g(x,y) &= g(x\cdot 1,x \cdot \frac{y}{x})=x^n g(1,\frac{y}{x})=x^n g(1,u) \end{align*} $$
따라서 주어진 식을 $x$와 $u$에 대해서만으로 나타내면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} && x^n f(1,u)dx+x^n g(1,u)[udx+xdu] &= 0 \\ \implies && f(1,u)dx + g(1,u)[udx+xdu] &= 0 \\ \implies && f(1,u)dx + g(1,u)udx + g(1,u)xdu &= 0 \\ \implies && [ f(1,u)+ug(1,u)]dx &= -xg(1,u)du \\ \implies && \dfrac{-1}{x} dx &= \dfrac{g(1,u)}{ f(1,u)+ug(1,u) } du \end{align*} $$
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중요한 점은 $f$와 $g$가 같은 차수일 때만 분리가능한 형태로 바꿔줄 수 있다는 것이다.다른 차수의 동차함수일 때는 분리가능한 형태로 바꿀 수 없다.
예제
1
$$ \dfrac{dy}{dx}=f \left( \frac{y}{x} \right) $$
$y \equiv ux$로 치환하면$\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}$따라서 주어진 미분방정식은
$$ \begin{align*} && u+x\dfrac{du}{dx} &= f(u) \\ \implies && udx+xdu &= f(u)dx \\ \implies && xdu &= [f(u)-u]dx \\ \implies && \dfrac{1}{x}dx &= \dfrac{1}{f(u)-u} du \end{align*} $$
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2
$$ 3x^2y \dfrac{dy}{dx}-2xy^2+y^3=0 $$
위의 정의에서 $g(x,y)=3x^2y$이고 $f(x,y)=-2xy^2+y^3$인 경우이다.$y \equiv ux$로 치환하면 $\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}$이고 주어진 미분방정식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} && 3x^2(ux)\left( x\dfrac{du}{dx}+u\right) -2x(ux)^2+(ux)^3 &= 0 \\ \implies && 3ux^4\dfrac{du}{dx}+3u^2x^3-2u^2x^3+u^3x^3 &= 0 \\ \implies && 3x\dfrac{du}{dx}+3u-2u+u^2 &= 0 \\ \implies && 3x\dfrac{du}{dx} &= -u^2-u \\ \implies && \dfrac{3}{u^2+u} du &= \dfrac{-1}{x}dx \end{align*} $$
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