선팽창계수와 부피팽창계수
선팽창계수
선팽창계수란, 고체가 열을 받아 팽창할 때 고체의 단위길이당 길이의 변화를 말하며, 다음과 같다.
$$ \alpha = \dfrac{\Delta L}{L} \dfrac{1}{\Delta T} \left[ ^\circ \mathrm{C} ^{-1} \right] $$
이때 $L$은 고체의 원래 길이, $\Delta T$는 온도 변화량, $\Delta L$은 길이 변화량이다.
유도
길이가 $L$인 고체에 열을 가하고 난 뒤 길이가 $L+\Delta L$로 변했다고 가정하자. 그러면 늘어난 길이는 원래의 길이와 온도의 변화 모두에 비례할 것이니 다음과 같이 비례식을 세울 수 있다.
$$ \Delta L \propto L \Delta T $$
비례 상수를 $\alpha$라 두면 다음을 얻는다.
$$ \Delta L = \alpha L \Delta T \implies \alpha = \dfrac{\Delta L}{L} \dfrac{1}{\Delta T} \left[ ^\circ \mathrm{C} ^{-1} \right] $$
부피팽창계수
부피팽창계수란, 고체가 열을 받아 팽창할 때 고체의 단위 부피당 부피의 변화량을 말하며 다음과 같다.
$$ \beta = 3\alpha $$
이때 $\alpha$는 선팽창계수이다.
유도
처음 부피를 $V=L^3$, 팽창 후 부피를 $V^{\prime}=(L+\Delta L)^3$라 하자. $x$가 충분히 작을 때 다음의 근사가 성립한다.
$$ (1+x)^n \approx 1 + nx \quad (|x| \ll 1) $$
왜냐하면 이항정리에 의해
$$ (1+x)^n = \dfrac{n!}{0!n!}1+\dfrac{n!}{1!(n-1)!}x+\dfrac{n!}{2!(n-2)!}x^2+\dfrac{n!}{3!(n-3)!}x^3 + \cdots $$
이므로 $x$의 크기가 충분히 작으면 2차 이상의 항은 그 크기가 너무 작아 무시할 수 있기 때문이다. 따라서 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} V^{\prime} &= (L+\Delta L)^3 \\ &= L^3 \left( 1+\dfrac{\Delta L}{L} \right)^3 \\ &\approx L^3 \left( 1+3\dfrac{\Delta L}{L} \right) \\ &= V\left( 1+ 3\dfrac{\Delta L}{L} \right) \end{align*} $$
계산을 마저 해보면
$$ \begin{align*} && V^{\prime} &= V+3V\dfrac{\Delta L}{L} \\ \implies && \Delta V = V^{\prime}-V &= 3V\dfrac{\Delta L}{L} \\ \end{align*} $$
부피 변화량은 원래 부피와 온도 변화에 비례할 것이니 다음과 같이 비례식을 세울 수 있다.
$$ \Delta V \propto V \Delta T $$
여기서 비례 상수를 $\beta$라 두면 다음의 결과를 얻는다.
$$ \Delta V = \beta V \Delta T $$
$$ \begin{align*} \implies \beta &= \dfrac{\Delta V}{V} \dfrac{1}{\Delta T} \\[1em] &= \dfrac{3V \frac{\Delta L}{L}}{V} \dfrac{1}{\Delta T} \\[1em] &= 3 \dfrac{\Delta L }{L} \dfrac{1}{\Delta T} \\[1em] &= 3\alpha \mathrm{} \end{align*} $$
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