📂상미분방정식

분리 가능한 1계 미분방정식

정의¹

1계 미분 방정식이 다음과 아래의 조건을 만족할 때 분리가능 하다고 한다.

$$ f(x)+g(y)\dfrac{dy}{dx}=0 \quad \text{or} \quad f(x)dx = -g(y)dy $$

설명

여러 가지 모양으로 표현할 수 있지만 중요한 점은 양변으로 각 변수가 분리돼야 한다는 것이다. 이렇게 두 변수를 분리해서 해를 구하는 방법을 변수분리법^{separation of variables}이라 한다.

분리가능함은 굉장히 좋은 조건으로, 주어진 미분방정식이 분리가능하다면 해를 쉽게 구할 수 있다. 반면에 변수분리가 되지 않으면 여러 가지 방법을 통해 분리가능한 모양으로 만들어주게 된다. 다시말해 1계 미분방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있으나 그 본질은 결국 변수분리라는 것이다.

풀이

$$ \begin{align*} && g(y)\dfrac{dy}{dx} + f(x)&=0 \\ \implies && g(y)\dfrac{dy}{dx} &=-f(x) \\ \implies && g(y)dy &=-f(x)dx \\ \implies && \int g(y)dy& =-\int f(x)dx+C \end{align*} $$

이 때 $C$는 적분상수이다. 적분 후 좌변을 $y$에 대해서 정리하면 된다.

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예시

$\dfrac{dy}{dx}+y=0$의 일반해를 구하여라.

$$ \begin{align*} &&\dfrac{dy}{dx}& =-y \\ \implies && \dfrac{1}{y}dy&=-dx \\ \implies && \int \dfrac{1}{y} dy &=-\int dx \\ \implies &&\ln y &=-x+C \\ \implies && y&=e^{-x+C}=e^{-x}e^C=Ce^{-x} \end{align*} $$ 이 때 초기값이 $y(0)=y_{0}$라면 $y(0)=C=y_{0}$이므로

$$ y(x)=y_{0}e^{-x} $$

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원자핵의 방사선 붕괴

방사성원자핵이 단위시간 동안 붕괴하는 개수는 원자핵의 개수 $N$에 비례한다.

$$ \dfrac{dN}{dt}=-\lambda N $$

여기서 $\lambda$는 붕괴상수^{decay constant}이다.

$$ \begin{align*} && \dfrac{dN}{dt} &=-\lambda N \\ \implies && \dfrac{1}{N}dN&=-\lambda dt \\ \implies && \int \dfrac{1}{N}dN &=-\int \lambda dt \\ \implies && \ln N &=-\lambda t+C \\ \implies && N&=Ce^{-\lambda t} \end{align*} $$

이 때 초기값이 $N(0)=N_{0}$라면 $N(0)=C=N_{0}$이므로

$$ N(t)=N_{0}e^{-\lambda t} $$

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