📂복소해석

에네스트롬-카케야 정리 증명

정리 ¹

$\left\{ a_{i} \right\}_{i=0}^{n} \subset \mathbb{R}$ 이 $a_0 > a_1 > \cdots > a_n > 0$ 라고 하자. 그러면 다항 함수 $$ P(z) := a_0 + a_1 z + \cdots + a_{n-1} z^{n-1} + a_n z^n $$ 의 모든 근 $z \in \mathbb{C}$ 는 $|z| \ge 1$ 를 만족한다.

증명

만약 $P(z) = 0$ 의 해가 $z=1$ 이면 $\displaystyle 0 = P(1) = \sum_{i=0}^{n} a_{i} > 0$ 이므로 일단 해는 $z \ne 1$ 이어야한다.식 $P(z) = 0$ 의 양변에 $z$ 를 곱해 원래의 식에서 빼고 $a_0$ 에 대해 정리하면 $$ a_0 = (1-z)P(z) + (a_0 - a_1) z + \cdots + (a_{n-1} - a_n) z^n + a_n z^{n+1} $$ 이제 $P(z) = 0$ 의 해 $z \ne 1$ 가 $|z| < 1$ 이라고 가정하면 $a_0 > a_1 > \cdots > a_n > 0$ 이므로 $$ \begin{align*} & |a_0| < |(1-z)P(z)| + (a_0 - a_1) + \cdots + (a_{n-1} - a_n) + a_n \\ \implies& |a_0| < |(1-z)P(z)| + a_0 + (- a_1 + a_1) + \cdots + (- a_{n-1} + a_{n-1} )+ (- a_n + a_n ) \\ \implies& a_0 = |a_0| < |(1-z)P(z)| + a_0 \\ \implies& 0 < |(1-z)P(z)| \end{align*} $$ 그런데 $z \ne 1$ 는 $P(z) = 0$ 의 해로 가정했으므로 $$ 0 < |(1-z)P(z)| = 0 $$ 이는 모순이므로, $\left| z \right| < 1$ 라는 전제가 틀렸음을 알 수 있고 $|z | \ge 1$ 이어야한다.

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