국소연결과 국소경로연결 📂위상수학

국소연결과 국소경로연결

정의

$X$ 를 위상공간이라고 하자.

$x \in X$ 를 포함하는 모든 $U$ 에 대해 $x \in C \subset U$ 를 만족하는 열린 연결 집합 $C$ 가 존재하면 $X$ 가 $x$ 에서 국소연결이라 한다. 모든 $x \in X$ 에 대해 국소연결이면 $X$ 를 국소연결 공간이라 한다.
$x \in X$ 를 포함하는 모든 $U$ 에 대해 $x \in P \subset U$ 를 만족하는 열린 경로연결 집합 $P$ 가 존재하면 $X$ 가 $x$ 에서 국소경로연결이라 한다. 모든 $x \in X$ 에 대해 국소경로연결이면 $X$ 를 국소경로연결 공간이라 한다.

[1-1]: $X$ 가 $x$ 에서 국소연결이라는 것과 필요충분조건은 $X$ 가 $x$ 에서 열린 연결 집합을 포함하는 국소기저를 갖는 것이다.
[1-2]: $X$ 가 국소연결 공간이라는 것과 필요충분조건은 $X$ 가 열린 연결 집합을 포함하는 기저를 갖는 것이다.
[1-3]: $X$ 가 국소연결 공간이라는 것과 필요충분조건은 열린 $O \subset X$ 의 모든 연결 성분이 $X$ 에서 열린 집합인 것이다.
[1-4]: 국소연결성은 위상적 성질이다.
[1-5]: 국소연결성과 연결성은 포함관계를 가지지 않는다.

[2-1]: $X$ 가 $x$ 에서 경로국소연결이라는 것과 필요충분조건은 $X$ 가 $x$ 에서 열린 경로연결 집합을 포함하는 국소기저를 갖는 것이다.
[2-2]: $X$ 가 경로국소연결 공간이라는 것과 필요충분조건은 $X$ 가 열린 경로연결 집합을 포함하는 기저를 갖는 것이다.
[2-3]: $X$ 가 경로국소연결 공간이라는 것과 필요충분조건은 열린 $O \subset X$ 의 모든 경로연결 성분이 $X$ 에서 열린 집합인 것이다.
[2-4]: 국소경로연결성은 위상적 성질이다.
[2-5]: 국소경로연결성과 경로연결성은 포함관계를 가지지 않는다.

읽기도 전부터 지겹지만 말이 복잡해서 그렇지 의외로 개념 자체는 별 것 아니다. 그럼에도 굳이 이렇게 많은 말을 일일이 적는 이유는 대충 뭉뚱그려서 수학스러운 직관으로 받아들이면 십중팔구 오개념이 생기기 때문이다.

국소연결과 연결, 국소경로연결과 경로연결은 서로 완전히 별개의 개념이다. 정리 [3]에서 언급하듯 특히 경로연결 공간이 연결 공간이듯 국소경로연결 공간이 국소연결 공간인 것은 정말, 정말로 다행이라고 할 수 있다.

국소연결성과 연결성이 포함관계를 갖는다는 주장에 대한 반례를 보이면 충분하다.

위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 국소연결 공간이 아니다.

이산공간은 국소연결 공간이지만 비연결 공간이므로 연결공간이 아니다.

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국소경로연결성과 경로연결성이 포함관계를 갖는다는 주장에 대한 반례를 보이면 충분하다.

위상수학자의 빗 공간은 경로연결 공간이지만 국소경로연결 공간이 아니다.

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