📂위상수학

경로연결 성분

정의 ¹

위상공간 $X$ 의 경로연결 부분공간들 중 자기 자신만을 연결 초집합Superset으로 갖는 경로연결 집합을 $X$ 의 경로연결 성분^{path Connected Component}이라 한다. 특히 $x \in X$ 를 포함하는 경로연결 성분을 $P_{x}$ 라 쓴다.

정리

• [1]: $x \in X$ 은 단 하나의 $P_{x}$ 에만 속한다.
• [2]: $a,b \in X$ 에 대해 $P_{a} = P_{b}$ 이거나 $P_{a} \cap P_{b} = \emptyset$ 둘 중 하나다.
• [3]: 모든 경로연결 공간은 어떤 경로연결 성분의 부분집합이다.
• [5]: $X$ 가 경로연결 공간인 것과 $X$ 가 단 하나의 경로연결 성분을 갖는다는 것은 서로 동치다.

연결 성분과의 차이점

개념적으로는 연결 성분과 다른 점이 전혀 없어보이는데, 자세히 살펴보면 정리에서 은근슬쩍 [4]가 빠져있는 것을 알 수 있다. 그 성질은 다음과 같다.

• [4]: $X$ 의 모든 연결 성분은 $X$ 에서 닫힌 집합이다.

[4]에서 ‘연결’을 ‘경로연결’로 바꿨을 때 성립하지 않는 반례로는 위상수학자의 사인 곡선이 있다.