📂위상수학

접착 보조정리 증명

정리

위상공간 $X,Y$ 에 대해 두 닫힌 집합 $A,B \subset X$ 이 $A \cup B = X$ 를 만족하고 두 연속함수 $f : A \to Y$ 와 $g : B \to Y$ 가 모든 $x \in A \cap B$ 에 대해 $f(x) = g(x)$ 라고 하자. 그러면 다음과 같이 정의된 $h$ 는 연속함수다. $$h(x) : = \begin{cases} f(x), & x \in A \\ g(x), & x \in B \end{cases}$$

설명

풀 보조정리^{gluing lemma}라도 불리는 이 보조정리는 문장을 읽는 것만으로도 이해할 수 있을 정도로 당연하다. 굳이 보조정리라는 이름이 남고 증명까지 된 이유는 자주 쓰다보니 이름을 붙이는 게 편한데 증명이 가능해서였을 것이다.

증명

$h$ 가 연속임을 보이기 위해 닫힌 집합 $C \subset Y$ 을 생각해보자.

• $f$ 가 연속함수 $\iff$ 모든 닫힌 집합 $C \subset Y$ 에 대해, $f^{-1} (C)$ 가 $X$ 에서 닫힌 집합이다.

$f$ 와 $g$ 는 연속이므로 $f^{-1}(C)$ 는 $A$ 에서 닫힌 집합이고 $g^{-1}(C)$ 는 $B$ 에서 닫힌 집합이다. 가정에서 $A$ 와 $B$ 가 $X$ 에서 닫힌 집합이므로 $f^{-1}(C)$, $g^{-1}(C)$ 역시 $X$ 에서 닫힌 집합이다. $$\begin{align*} h^{-1} (C) =& \left\{ x \in X \ | \ h(x) \in C \right\} \\ =& \left\{ x \in A \ | \ h(x) \in C \right\} \cup \left\{ x \in B \ | \ h(x) \in C \right\} \\ =& \left\{ x \in A \ | \ f(x) \in C \right\} \cup \left\{ x \in B \ | \ g(x) \in C \right\} \\ =& f^{-1} (C) \cup g^{-1} (C) \end{align*}$$ 는 $X$ 에서 닫힌 집합끼리의 합집합이므로 $h^{-1}(C)$ 는 $X$ 에서 닫힌 집합이고, $h$ 는 연속함수다.

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따름정의

경로 $p,q : [0,1] \to X$ 가 $p(1) = q(0)$ 를 만족한다고 하자. 그러면 $p*q : [0,1]$ 를 다음과 같이 정의하고 $p,q$ 의 곱경로^{product Path}라 한다. $$(p \ast\ q) (t) = \begin{cases} p(2t), & 0 \le t \le 1/2 \\ q(2t-1), & 1/2 \le t \le 1 \end{cases}$$

곱경로는 접착 보조정리가 정확히 한 점에서 적용된 개념이라고 볼 수 있고, 경로연결성에 대한 연구에 유용하게 쓸 수 있다.

호모토피

이렇게 경로를 이어붙이는 것은 대수적 위상수학^{algebraic Topology}에서 호모토피에 대한 연구로 이어지며, 접착 보조정리 자체도 지겹도록 보게 된다.