📂상미분방정식

미분 방정식의 정의와 예

정의

한 개 또는 그 이상의 종속변수를 한 개 또는 그 이상의 독립변수에 대해 미분한 도함수들을 포함하는 방정식을 미분방정식^{differential equation}이라 한다.

$$\dfrac{dy}{dx}=y$$

$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = y$$

설명

대부분의 물리적인 상황은 1계 혹은 2계 미분방정식으로 표현할 수 있다.

낙하하는 물체

$$F=ma=mg$$

$$v=\dfrac{dy}{dt}$$

$$a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{dy}{dt} \right)=\dfrac{d^2y}{dt^2}$$

$$\dfrac{d^2y}{dt^2}=g$$

스프링 질량계

$$F=ma=-ky$$

$$a= -\dfrac{k}{m}y$$

$$\dfrac{d^2y}{dt^2}=-\dfrac{k}{m}y$$

$$\dfrac{d^2y}{dt^2}+\dfrac{k}{m}y=0$$

이 때 $w^2=\dfrac{k}{m}$이라고 하면,

$$\dfrac{d^2y}{dt^2}+w^2y=0$$

RLC circuit

$$L\dfrac{d^2q}{dt^2}+R\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{1}{c}q=V(t)$$

슈뢰딩거 방정식

$$i\hbar \dfrac{\partial \psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2 }{2m} \dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + u(x)\psi$$