위상수학에서 경로연결성이란
정의 1
$X$ 를 위상공간이라고 하고 $C \subset \mathbb{R}^{n}$ 이라고 하자.
- 연속함수 $p : [0,1] \to X$ 를 시점initial point $p(0)$ 에서 종점terminal point $p(1)$ 까지의 경로path라 한다. $\overline{p}(t) = p(1-t)$ 를 $p$ 의 역경로reverse Path라 한다.
- 모든 $a,b \in X$ 에 대해 $p(0) = a$ 와 $p(1) = b$ 를 만족하는 경로 $p$ 가 존재하면 $X$ 를 경로연결path Connected 공간이라고 한다.
- 모든 $a,b \in C$ 와 $t \in [0,1]$ 에 대해 $(1-t) a + t b \in C$ 면 $C$ 를 볼록convex하다고 한다.
- $p(0) = p(1)$ 이면 폐경로closed Path라 한다.
설명
쉽게 말해 어떤 공간의 두 점을 잇는 경로가 항상 존재하면 경로연결이라고 부르는 것이다.
- $X$ 는 비연결 공간이다 $\iff$ 연속함수 $f : X \to \left\{ a, b \right\}$ 가 존재한다.
- $X$ 는 경로연결 공간이다 $\iff$ 연속함수 $p : [0,1] \to X$ 가 존재한다.
비연결 공간과 경로연결 공간의 경우 어떤 조건을 만족시키는 연속함수가 있는가로 구분하면 생각하기 편하다. 물론 위의 명제들에는 많은 것들이 생략되어있으니 저대로 받아들이면 곤란하다.
컨벡스
컨벡스의 개념은 딱히 유클리드 공간의 부분집합에서만 정의될 필요는 없고, 벡터 스페이스의 부분공간이라면 얼마든지 정의될 수 있다. 볼록하다는 것은 기하학적으로 말하자면 $C$ 의 두 점을 잇는 직선이 항상 $C$ 내에 존재하는 것이다.
예로써 위의 두 도형을 보면 파란 원은 어떤 두 점을 잡든 직선으로 연결이 가능해서 볼록하다. 주황색 도형은 그 내부에 $a$ 와 $b$ 를 이을 수 있는 직선이 존재하지 않으므로 볼록하지 않다.
연결성
한편 경로연결 공간의 정의를 잘 살펴보면 사실상 연결공간이나 진배 없어 보인다. 실제로 다음의 정리는 어렵지 않게 증명할 수 있고, 이 둘을 구분하는 것은 의미 없어 보인다. 그러나 연결과 경로 연결은 확실히 다른 개념인데, 위 정리의 역이 성립하지 않음을 보여주는 반례가 존재하기 때문이다. 역이 성립하는 경우로는 $\mathbb{R}$ 의 볼록 부분공간 혹은 열린 연결 부분공간이 있다.
정리: 경로연결 공간이면 연결공간이다.
증명
경로 연결공간 $X$ 에 대해 $X = \emptyset$ 이면 $X$ 는 연결공간이다. $X \ne \emptyset$ 이면 어떤 점 $a \in X$ 을 잡을 수 있다. 그러면 임의의 $x \in X$ 에 대해 $p_{x} (0) = a$, $p_{x} (1) = x$ 을 만족하는 연속함수 $p_{x} : [0,1] \to X$ 가 존재한다.
연결 공간의 연속 상은 연결 공간 연결 공간 $X$ 에 대해 $f : X \to Y$ 가 연속함수면 $f(X)$ 는 연결 공간이다.
$[0,1]$ 은 연결 공간이므로 $p_{x} ( [0,1] )$ 은 연결 공간이고, $\displaystyle a \in \bigcap_{x \in X} p_{x} ( [0, 1] )$ 이므로 $\displaystyle \bigcap_{x \in X} p_{x} ( [0, 1] ) \ne \emptyset$
(3) $X$ 의 연결 부분공간의 집합 $\left\{ A_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$ 에 대해 $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptyset$ 이면 $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \forall} A_{\alpha}$ 는 연결 공간이다.
따라서 $\displaystyle X = \bigcup_{x \in X} p_{x} ( [0, 1] )$ 은 연결 공간이다.
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같이보기
Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p155. ↩︎