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위상수학에서 고정점 성질이란? 📂위상수학

위상수학에서 고정점 성질이란?

정의

함수 f:X→Xf : X \to X 에 대해 f(x0)=x0f(x_{0}) = x_{0} 를 만족하는 x0x_{0} 을 ff 의 고정점fixed point이라 한다. 모든 연속함수 ff 가 고정점을 가지면 XX 가 고정점 성질fixed Point Property을 가진다고 한다.

설명

주로 완비 공간과 관계가 깊다.

적어도 R\mathbb{R} 에서는 중간값 정리를 이용하면 f:[a,b]→[a,b]f : [a,b] \to [a,b] 에 대해 f(c)=cf(c) = c 를 만족하는 cc 가 항상 존재함을 보일 수 있다.

정리

고정점 성질은 위상적 성질이다.

증명

위상동형사상 h:X→Y h : X \to Y 가 존재하고 XX 가 고정점 성질을 갖는다고 하자. YY 가 고정점 성질을 가짐을 보이면 증명은 끝난다.

f:Y→Yf : Y \to Y 를 연속함수로, g:X→Xg : X \to X 를 g(x)=(h−1∘f∘h)(x)g(x) = (h^{-1} \circ f \circ h) (x) 로 정의하면 gg 역시 연속함수다. XX 는 고정점 성질을 가지므로 gg 의 고정점 x0x_{0} 가 존재할 것이고, h(x0)=y0∈Yh(x_{0}) = y_{0} \in Y 라고 두자. 그러면 f(y0)=f((h(x0))=h∘h−1∘f∘h(x0)=h(g(x0))=h(x0)=y0 \begin{align*} f (y_{0}) =& f( ( h (x_{0} ) ) \\ =& h \circ h^{-1} \circ f \circ h (x_{0}) \\ =& h(g(x_{0})) \\ =& h (x_{0}) \\ =& y_{0} \end{align*} 이고, YY 는 고정점 성질을 가진다.

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