📂집합론

집합론으로 엄밀하게 정의되는 함수와 상, 수열

정의 ¹

공집합이 아닌 두 집합 $X$, $Y$ 이 주어져 있다고 하자.

1. 이항 관계 $f \subset (X,Y)$ 가 다음을 만족하면 함수라 하고 $f : X \to Y$ 와 같이 나타낸다. $$ (x ,y_{1}) \in f \land (x,y_{2}) \in f \implies y_{1} = y_{2} $$
2. 함수 $f : X \to Y$ 에 대해 $\text{Dom} (f) = X$ 를 $f$ 의 정의역^domain, $Y$ 를 $f$ 의 공역^codomain이라 한다. 정의역의 부분집합 $A \subset X$ 이 주어져 있을 때, $f(A):= \left\{ f(x) \in Y \ | \ x \in A \right\}$ 를 $f$ 에 대한 $A$ 의 상^image이라 한다. 특히 $f$ 에 대한 정의역 $X$ 의 상 $\operatorname{Im} f := f(X)$ 를 $f$ 의 치역^range이라 한다.
3. 정의역이 자연수의 집합 $\mathbb{N}$ 인 함수를 수열^sequence이라 한다.
4. 정의역 $A$ 와 공역 $B$ 를 갖는 모든 함수 $\lambda : A \to B$ 의 집합을 $B^{A}$ 와 같이 나타낸다.

설명

1. 교과과정 수준에서는 ‘모든 원소 $x_{1}, x_{2} \in X$ 에 대해 $x_{1} = x_{2} \implies f(x_{1}) = f(x_{2})$ 를 만족하는 $f(x_{1})$ 와 $f(x_{2})$ 가 $Y$ 에 존재하면 대응 $f : X \to Y$ 를 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수’라고 했다. 그러나 이 ‘대응’ 혹은 ‘사상Mapping'은 다소 애매한 표현이었다. 학부 이상의 수학에서는 집합론을 동원해서 관계로 함수와 관련된 개념을 엄밀하게 정의한다. 함수가 값을 넣으면Input 함수값을 단 하나만 내놓는다Output는 식의 설명은 컴퓨터공학에서의 함수에 더 적합한 설명이다.
2. 왜 굳이 치역을 따로 정의하는지 궁금할 수 있다. 예로써 $f(x) = x^2$ 을 생각해보면 누가봐도 함숫값들은 $\left[ 0,\infty \right)$ 에 속하고 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 처럼 쓸데 없이 크게 잡을 이유가 없어보인다. 애초에 치역이란 공역의 부분집합일 뿐이고, 실제론 쓰지도 않을 값들은 왜 따로 두는지 이해하기 어려운 것이다.
   이는 너무 쉬운 예만 생각하는데에서 오는 착각으로, 모든 함수가 정의할 때부터 치역을 쉽게 예상할 수 있는 건 아니다. 함수를 정의할 때 보장할 수 있는 것은 $x \in X$ 에 대해 $f(x) \in Y$ 가 존재한다는 것일 뿐, 그게 무엇인지는 알 바 아니다. 만약 $$ f(x) = \sin \ln \sqrt{x} + \int_{1}^{3^x} {{1} \over {7t+t^2}} dt $$ 처럼 복잡한 함수가 있다면 정의할때부터 그 치역을 알수 없고, 알 필요도 없다. 치역을 알아야하는 것은 보통 합성함수를 정의할 때 정도다.
3. 수열이 단순히 수를 나열한 것이라는 식의 설명보다 단순명료하면서도 일반적인 정의가 되었음을 확인할 수 있다. 공역이 되는 것은 소위 ‘수’가 아니라 함수가 되든, 어떤 기상천외한 집합이 되든 모두 커버할 수 있게 된 것이다. 이러한 추상화는 당장 수열의 개념을 깔끔하게 표현할 수 있게 될 뿐만 아니라 무한을 다루는 수학의 여러 분야에서 유연하게 쓰일 수 있다.
4. 함수들의 집합이라는 개념 자체가 낯설 수 있지만, 추상수학에서는 함수공간과 같은 집합을 일상적으로 언급한다. 왜 하필 $B^{A}$ 와 같은 노테이션을 사용하는지는 기수를 떠올려보면 이해하기 쉽다. 예를 들어서 $B=\left\{ 1,2,3 \right\}$, $A = \left\{ e, \pi \right\}$ 에 대해 $B$ 가 공역이고 $A$ 가 정의역인 모든 함수를 생각해보면 $$ e \mapsto 1 \text{ or } 2 \text{ or } 3 \\ \pi \mapsto 1 \text{ or } 2 \text{ or } 3 $$ 이 모든 경우의 수는 $9 = 3^2 = |B|^{|A|}$ 이 된다.