📂추상대수

추상대수학에서의 교대군

정의 ¹

대칭군 $S_{n}$ 의 짝순열들로 이루어진 군을 교대군^{alternating group}이라 하고 $A_{n}$ 으로 쓴다.

정리

$n \ge 2$ 에 대해 $$ \left| A_{n} \right| = {{\left| S_{n} \right|} \over {2}} = {{ n! } \over {2}} $$

설명

$A_{n}$ 의 위수^order가 정확히 $\left| S_{n} \right|$ 의 절반이 된다는 것은 상당히 흥미로운 성질이 아닐 수 없다. 교대군은 후에 $5$ 차 이상의 방정식이 근의 공식을 갖지 않음을 보일 때 쓰이므로 매우 중요한 군이라 할 수 있다.

증명

우선 $A_{n}$ 이 군이 됨을 보여야한다:

• (i): 짝순열끼리의 합성은 짝순열이므로 $A_{n}$ 은 연산 $ \circ$ 에 대해 닫혀있다.
• (ii): $A_{n} \subset S_{n}$ 이므로 결합법칙이 성립한다.
• (iii): 항등함수 $\iota = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{bmatrix}$ 는 짝수인 $0$ 개의 전위로 표현되므로 짝순열이고, $A_{n}$ 은 항등원 $\iota$ 을 가진다.
• (iv): 임의의 전위 $(i, j)$ 에 대해 $(i, j) (i , j) = \iota$ 이므로, 짝순열의 역원 역시 짝순열이다.

이제 $\displaystyle \left| A_{n} \right| = {{ n! } \over {2}}$ 임을 보이기 위해 편의상 $A_{n}^{c} := S_{n} \setminus A_{n}$ 라고 하자. 만약 전단사 $f : A_{n} \to A_{n}^{c}$ 가 존재한다면 $$ \left| A_{n} \right| = \left| A_{n}^{c} \right| \\ n! = \left| S_{n} \right| = \left| A_{n} \right| + \left| A_{n}^{c} \right| $$ 이므로 $\displaystyle \left| A_{n} \right| = {{ n! } \over {2}}$ 일 것이다.

이제 구체적으로 함수 $f ( x ) = (1,2) x$ 가 전단사임을 보이면 증명은 끝난다.

• $f ( \sigma ) = f ( \tau )$ 면 $(1,2) \sigma = (1,2) \tau$ 고 양변에 $(1,2)$ 를 곱하면 $\sigma = \tau$ 이므로 $f$ 는 단사다.
• 임의의 $\xi \in A_{n}^{c}$ 에 대해 $(1,2) \xi$ 는 짝순열이고, $f( (1,2) \xi ) = (1,2)(1,2) \xi = \xi$ 이므로 $f$ 는 전사다.

따라서 다음이 성립한다. $$ \left| A_{n} \right| = {{\left| S_{n} \right|} \over {2}} = {{ n! } \over {2}} $$

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팁

(iii)에서 항등원의 존재성을 밝히는 부분을 잘 보면 왜 하필 홀순열이 아니라 짝순열을 사용하는지 알 수 있을 것이다.