짝이면서 홀인 순열은 존재하지 않음을 증명
📂추상대수짝이면서 홀인 순열은 존재하지 않음을 증명
정의
유한 대칭군의 순열이 짝수 만큼의 전위의 곱으로 나타날 수 있으면 짝even이라 하고 홀수 만큼의 전위의 곱으로 나타날 수 있으면 홀odd라 한다.
순열의 부호 sgn(σ)를 다음과 같이 정의한다.
sgn(σ)={+1−1if σ is evenif σ is odd
설명
짝과 홀의 정의 자체는 상당히 자연스럽지만, 정의 자체만 보아서는 짝이거나 홀이거나 둘 중 하나여야하는 배타성이 있다고 볼 수 없다. 다음의 정리를 통해 확인해보자.
정리
짝이면서 홀인 순열은 존재하지 않는다.
증명
유한대칭군 SnS_{n}Sn 의 전위 τ:=(i,j)\tau : = ( i , j )τ:=(i,j) 와 순열 σ\sigmaσ 를 생각해보자.
유한대칭군의 모든 순열은 서로소인 순환들의 합성으로 나타낼 수 있다.
Case 1. iii 와 jjj 가 σ\sigmaσ 의 서로 다른 두 궤도의 원소인 경우
iii 와 jjj 가 같은 궤도의 원소가 아니므로 어떤 r,m∈Zr, m \in \mathbb{Z}r,m∈Z 에 대해 서로소인 두 순환의 곱 σ=(i,i1,⋯ ,im)(j,j1,⋯ ,jr)\sigma = (i , i_{1} , \cdots , i_{m}) (j , j_{1} , \cdots , j_{r})σ=(i,i1,⋯,im)(j,j1,⋯,jr) 와 같이 나타낼 수 있다. 그러면 전위의 성질에 의해
τσ=(i,j)σ=(i,j)(i,i1,⋯ ,im)(j,j1,⋯ ,jr)=(i,i1,⋯ ,im,j)(j,j1,⋯ ,jr)=(j,i,i1,⋯ ,im)(j,j1,⋯ ,jr)=(j,j1,⋯ ,jr,i,i1,⋯ ,im)
\begin{align*}
\tau \sigma =& (i , j) \sigma
\\ =& (i , j) (i , i_{1} , \cdots , i_{m}) (j , j_{1} , \cdots , j_{r})
\\ =& (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j ) ( j , j_{1} , \cdots , j_{r})
\\ =& ( j , i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) ( j , j_{1} , \cdots , j_{r})
\\ =& ( j , j_{1} , \cdots , j_{r} , i , i_{1} , \cdots , i_{m} )
\end{align*}
τσ=====(i,j)σ(i,j)(i,i1,⋯,im)(j,j1,⋯,jr)(i,i1,⋯,im,j)(j,j1,⋯,jr)(j,i,i1,⋯,im)(j,j1,⋯,jr)(j,j1,⋯,jr,i,i1,⋯,im)
따라서 τσ\tau \sigmaτσ 는 iii 와 jjj 가 같은 궤도의 원소에 속하게 되고, σ\sigmaσ 와 τσ\tau \sigmaτσ 의 궤도의 수는 111 만큼 차이가 난다.
Case 2. iii 와 jjj 가 σ\sigmaσ 의 한 궤도의 원소인 경우
iii 와 jjj 가 같은 궤도의 원소이므로 어떤 r,m∈Zr, m \in \mathbb{Z}r,m∈Z 에 대해 σ=(i,i1,⋯ ,im,j,j1,⋯ ,jr)\sigma = ( i , i_{1} , \cdots , i_{m}, j , j_{1} , \cdots , j_{r} )σ=(i,i1,⋯,im,j,j1,⋯,jr) 와 같이 나타낼 수 있다. 그러면 전위의 성질에 의해
τσ=(i,j)σ=(i,j)(i,i1,⋯ ,im,j,j1,⋯ ,jr)=(i,j)(i,jr)(i,i1,⋯ ,im,j,j1,⋯ ,jr−1)=(i,j)(i,jr)(i,jr−1)(i,i1,⋯ ,im,j,j1,⋯ ,jr−2)=(i,j)(i,jr)⋯(i,j1)(i,j)(i,i1,⋯ ,im)=(i,j)(i,j,j1,⋯ ,jr)(i,i1,⋯ ,im)=(i,j)(j,j1,⋯ ,jr,i)(i,i1,⋯ ,im)=(i,j)(j,i)(j,j1,⋯ ,jr)(i,i1,⋯ ,im)=(j,j1,⋯ ,jr)(i,i1,⋯ ,im)
\begin{align*}
\tau \sigma =& (i , j) \sigma
\\ =& (i , j) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j , j_{1} , \cdots , j_{r})
\\ =& (i , j) \left( i , j_{r} \right) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j , j_{1} , \cdots , j_{r-1})
\\ =& (i , j) \left( i , j_{r} \right) \left( i , j_{r-1} \right) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j , j_{1} , \cdots , j_{r-2})
\\ =& (i , j) \left( i , j_{r} \right) \cdots \left( i , j_{1} \right) \left( i , j \right) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} )
\\ =& (i , j) (i , j , j_{1} , \cdots , j_{r}) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} )
\\ =& (i , j) (j , j_{1} , \cdots , j_{r} , i) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} )
\\ =& (i , j) (j , i) ( j , j_{1} , \cdots , j_{r} ) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} )
\\ =& ( j , j_{1} , \cdots , j_{r} ) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} )
\end{align*}
τσ=========(i,j)σ(i,j)(i,i1,⋯,im,j,j1,⋯,jr)(i,j)(i,jr)(i,i1,⋯,im,j,j1,⋯,jr−1)(i,j)(i,jr)(i,jr−1)(i,i1,⋯,im,j,j1,⋯,jr−2)(i,j)(i,jr)⋯(i,j1)(i,j)(i,i1,⋯,im)(i,j)(i,j,j1,⋯,jr)(i,i1,⋯,im)(i,j)(j,j1,⋯,jr,i)(i,i1,⋯,im)(i,j)(j,i)(j,j1,⋯,jr)(i,i1,⋯,im)(j,j1,⋯,jr)(i,i1,⋯,im)
이다. 따라서 τσ\tau \sigmaτσ 는 iii 와 jjj 가 다른 궤도의 원소에 속하게 되고, σ\sigmaσ 와 τσ\tau \sigmaτσ 의 궤도의 수는 111 만큼 차이가 난다.
이로써 σ\sigmaσ 와 τσ=(i,j)σ\tau \sigma = (i , j ) \sigmaτσ=(i,j)σ 의 궤도의 수의 차는 iii 와 jjj 가 무엇이든 관계 없이 111 임을 확인했다. 즉 어떤 순열이 됐든 전위가 한번 곱해질때마다 궤도의 수가 111 씩 늘어난다는 것이다.
한편 항등함수, 즉 ι=[12⋯n12⋯n]\iota = \begin{bmatrix}
1 & 2 & \cdots & n
\\ 1 & 2 & \cdots & n
\end{bmatrix}ι=[1122⋯⋯nn] 의 궤도의 갯수는 nnn 이다.
보조정리: 원소가 둘 이상인 유한대칭군의 모든 순열은 전위들의 곱으로 나타낼 수 있다.
임의의 순열 σ\sigmaσ 를 전위 τk\tau_{k}τk 들에 대해 나타내보면 σ=τ1τ2⋯τNι\sigma = \tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{N} \iotaσ=τ1τ2⋯τNι 이고, 궤도의 갯수는 (N+n)(N + n)(N+n) 다. 자연수 (N+n)(N+n)(N+n) 은 짝수인 동시에 홀수일 수 없으므로 순열 σ\sigmaσ 역시 짝이면서 홀일 수 없다.
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리뉴얼
- 23년 9월 4일, 류대식, Case 2 전개 수정 및 보강