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완전 탄성 충돌과 운동에너지 보존 📂물리학

완전 탄성 충돌과 운동에너지 보존

정리

반발계수ee가 11일 때 완전 탄성 충돌이라 한다. 완전 탄성 충돌에는 중요한 특징이 두가지 있다.

(a) 충돌 전 후의 각 물체의 운동에너지 합이 보존된다.

(b) 두 물체의 질량이 같으면 충돌 후 속도가 서로 교환된다.

증명

(a)

운동량 보존 법칙에 의해서

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′m_{1}v_{1}+m_2v_2 = m_{1}{v_{1}}^{\prime}+m_2{v_2}^{\prime}

  ⟹  m1v1−m1v1′=m2v2′−m2v2\implies m_{1}v_{1} - m_{1}{v_{1}}^{\prime} = m_2{v_2}^{\prime} - m_2v_2

  ⟹  m1(v1−v1′)=m2(v2′−v2)\begin{equation}\implies m_{1}(v_{1} - {v_{1}}^{\prime}) = m_2 ( {v_2}^{\prime}-v_2)\end{equation}

완전 탄성 출동의 경우 반발계수가 e=1e=1이므로

e=v2′−v1′v1−v2=1e= \dfrac{ {v_2}^{\prime} - {v_{1}}^{\prime} }{ v_{1} - v_2 }=1

  ⟹  v2′−v1′=v1−v2 \implies {v_2}^{\prime} - {v_{1}}^{\prime} = v_{1} - v_2

  ⟹  v1+v1′=v2+v2′\begin{equation} \implies v_{1} + {v_{1}}^{\prime} = v_2 + {v_2}^{\prime}\end{equation}

좌변에 우변에 같은 것을 곱하면 여전히 식이 성립한다. 따라서 (1)(1)의 좌변, 우변에 (2)(2)의 좌변, 우변을 각각 곱해주면

m1(v1−v1′)(v1+v1′)=m2(v2′−v2)(v2′−v2)m_{1}(v_{1} - {v_{1}}^{\prime}) (v_{1} + {v_{1}}^{\prime}) = m_2 ({v_2}^{\prime} - v_2) ( {v_2}^{\prime} - v_2)

  ⟹  m1(v12−v1′2)=m2(v2′2−v22)\implies m_{1}({v_{1}}^2 - {{v_{1}}^{\prime}}^2) = m_2 ( {{v_2}^{\prime}}^2 - {v_2}^2)

  ⟹  12m1v12−12m1v1′2=12m2v2′2−12m2v22\implies \dfrac{1}{2}m_{1}{v_{1}}^2 - \dfrac{1}{2}m_{1}{{v_{1}}^{\prime}}^2 = \dfrac{1}{2}m_2{{v_2}^{\prime}}^2 -\dfrac{1}{2}m_2 {v_2}^2

  ⟹  12m1v12+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2\implies \dfrac{1}{2}m_{1}{v_{1}}^2 + \dfrac{1}{2}m_2 {v_2}^2= \dfrac{1}{2}m_{1}{{v_{1}}^{\prime}}^2 + \dfrac{1}{2}m_2{{v_2}^{\prime}}^2

즉, 충돌 전후로 각 물체의 운동에너지 합이 보존된다.

(b)

질량이 같을 경우 m1=m2m_{1}=m_2이므로 (1)(1)은

v1−v1′=v2′−v2v_{1} - {v_{1}}^{\prime} = {v_2}^{\prime}-v_2

반발계수로부터 나온 식은

v1+v1′=v2+v2′v_{1} + {v_{1}}^{\prime} = v_2 + {v_2}^{\prime}

두 식을 더하면

2v1=2v2′2v_{1} = 2{v_2}^{\prime}

  ⟹  v1=v2′\implies v_{1}={v_2}^{\prime}

두 식을 빼면

2v1′=2v22{v_{1}}^{\prime}=2v_2

  ⟹  v1′=v2\implies {v_{1}}^{\prime}=v_2

따라서 두 물체의 충돌 전 후 속도가 교환된다.