완전 탄성 충돌과 운동에너지 보존
정리
반발계수$e$가 $1$일 때 완전 탄성 충돌이라 한다. 완전 탄성 충돌에는 중요한 특징이 두가지 있다.
(a) 충돌 전 후의 각 물체의 운동에너지 합이 보존된다.
(b) 두 물체의 질량이 같으면 충돌 후 속도가 서로 교환된다.
증명
(a)
운동량 보존 법칙에 의해서
$$m_{1}v_{1}+m_2v_2 = m_{1}{v_{1}}^{\prime}+m_2{v_2}^{\prime}$$
$$\implies m_{1}v_{1} - m_{1}{v_{1}}^{\prime} = m_2{v_2}^{\prime} - m_2v_2$$
$$\begin{equation}\implies m_{1}(v_{1} - {v_{1}}^{\prime}) = m_2 ( {v_2}^{\prime}-v_2)\end{equation}$$
완전 탄성 출동의 경우 반발계수가 $e=1$이므로
$$e= \dfrac{ {v_2}^{\prime} - {v_{1}}^{\prime} }{ v_{1} - v_2 }=1$$
$$ \implies {v_2}^{\prime} - {v_{1}}^{\prime} = v_{1} - v_2 $$
$$\begin{equation} \implies v_{1} + {v_{1}}^{\prime} = v_2 + {v_2}^{\prime}\end{equation}$$
좌변에 우변에 같은 것을 곱하면 여전히 식이 성립한다. 따라서 $(1)$의 좌변, 우변에 $(2)$의 좌변, 우변을 각각 곱해주면
$$m_{1}(v_{1} - {v_{1}}^{\prime}) (v_{1} + {v_{1}}^{\prime}) = m_2 ({v_2}^{\prime} - v_2) ( {v_2}^{\prime} - v_2)$$
$$\implies m_{1}({v_{1}}^2 - {{v_{1}}^{\prime}}^2) = m_2 ( {{v_2}^{\prime}}^2 - {v_2}^2)$$
$$\implies \dfrac{1}{2}m_{1}{v_{1}}^2 - \dfrac{1}{2}m_{1}{{v_{1}}^{\prime}}^2 = \dfrac{1}{2}m_2{{v_2}^{\prime}}^2 -\dfrac{1}{2}m_2 {v_2}^2$$
$$\implies \dfrac{1}{2}m_{1}{v_{1}}^2 + \dfrac{1}{2}m_2 {v_2}^2= \dfrac{1}{2}m_{1}{{v_{1}}^{\prime}}^2 + \dfrac{1}{2}m_2{{v_2}^{\prime}}^2$$
즉, 충돌 전후로 각 물체의 운동에너지 합이 보존된다.
(b)
질량이 같을 경우 $m_{1}=m_2$이므로 $(1)$은
$$v_{1} - {v_{1}}^{\prime} = {v_2}^{\prime}-v_2$$
반발계수로부터 나온 식은
$$v_{1} + {v_{1}}^{\prime} = v_2 + {v_2}^{\prime}$$
두 식을 더하면
$$2v_{1} = 2{v_2}^{\prime}$$
$$\implies v_{1}={v_2}^{\prime}$$
두 식을 빼면
$$2{v_{1}}^{\prime}=2v_2$$
$$\implies {v_{1}}^{\prime}=v_2$$
따라서 두 물체의 충돌 전 후 속도가 교환된다.