운동량 보존 법칙 쉬운 증명(고등학교 수준)
정리
외력이 작용하지 않으면 힘(내력)의 작용 전후의 운동량 총합은 일정하다. 쉽게 말해 두 물체가 충돌할 때 충돌 전 각 물체의 운동량 합과 충돌 후 각 물체의 운동량 합은 같다.
$$ m_{1}v_{1}+m_2v_2=m_{1}{v_{1}}^{\prime}+m_2{v_2}^{\prime} $$
증명(고등학교 수준)
두 물체 $A, B$가 충돌할 때 작용반작용의 법칙에 의해 서로가 서로에게 주는 힘은 크기는 같고 방향은 반대이다. $A$가 $B$에게 주는 힘은
$$ \begin{equation} F=F_{AB} \end{equation} $$
$B$가 $A$에게 주는 힘은
$$ \begin{equation} -F=F_{BA} \end{equation} $$
두 물체가 충돌할 때 충돌한 시간은 서로 같다. $(1)$과 $(2)$에 의해서,
$$ \begin{equation} Ft+(-F)t=0 \end{equation} $$
힘에 작용한 시간을 곱하면$(Ft)$ 충격량$(I)$이고, 충격량은 운동량의 변화량과 같다. 따라서
$$ \begin{equation} \begin{cases} Ft=I_{B}=\Delta p_{B}=m_{B}{v_{B}}^{\prime}-m_{B}v_{B} \\ (-F)t=I_{A}=\Delta p_{A}=m_{A}{v_{A}}^{\prime}-m_{A}v_{A} \end{cases} \end{equation} $$
$(3)$과 $(4)$를 연립하면
$$ m_{B}{v_{B}}^{\prime}-m_{B}v_{B}+m_{A}{v_{A}}^{\prime}-m_{A}v_{A} =0 \\ \implies m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B} = m_{A}{v_{A}}^{\prime}+m_{B}{v_{B}}^{\prime} $$
따라서 각 물체의 충돌전후 운동량의 합은 보존된다.역학적에너지는 작용하는 힘이 보존력일 때만 보존되지만 운동량은 외력이 작용하지 않으면 항상 보존된다. 사실 운동량 보존 법칙이 작용반작용의 법칙보다 더 일반적인 법칙이지만 고등학교 수준에서는 그 정도로 엄밀하게 다루지는 않는 듯 하다.