각운동량 연산자의 행렬 표현
공식
각운동량 연산자의 행렬 표현은 다음과 같다. $\ell = 1$일 때 $m = 1, 0, -1$이고,
$$ \underset{\normalsize L_{z} = }{\scriptsize} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \hbar\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array} $$
$$ \underset{\normalsize L_{x} = }{\scriptsize} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}}\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array} $$
$$ \underset{\normalsize L_{y} = }{\scriptsize} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}}\left[ \begin{array}{c} 0 \\ -\i \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} \i \\ 0 \\ -\i \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ \i \\ 0 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array} $$
각운동량의 사다리 연산자의 행렬 표현은 다음과 같다. $\ell = 1$일 때 $m = 1, 0, -1$이고,
$$ \underset{\normalsize L_{+} = }{\scriptsize} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} \sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array} $$
$$ \underset{\normalsize L_{-} = }{} \begin{array}{cccc} \scriptstyle{m=1} & \scriptstyle m=0 & \scriptstyle m=-1 & \\ \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{array} \right. & \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \sqrt{2} \end{array} & \left. \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] & \begin{array}{l} \scriptstyle m=1 \\ \scriptstyle m=0 \\ \scriptstyle m=-1 \end{array} \end{array} $$
증명
사다리 연산자
$$ \begin{align*} L_{+}\ket{\ell, m} &= \sqrt{(\ell-m)(\ell + m + 1)}\hbar\ket{\ell, m+1} \\ L_{-}\ket{\ell, m} &= \sqrt{(\ell+m)(\ell - m + 1)}\hbar\ket{\ell, m-1} \end{align*} $$
두 사다리 연산자는 위의 식을 만족하므로, $L_{+}$에 대해서 아래의 식을 얻는다.
$$ \begin{align*} \braket{\ell,m^{\prime} | L_{+}|\ell,m} &= \sqrt{(\ell - m)(\ell + m + 1)}\hbar\braket{\ell,m^{\prime} | \ell,m+1} \\ &= \sqrt{(\ell - m)(\ell + m + 1)}\hbar \delta_{m^{\prime}, m+1} \end{align*} $$
이때 $\delta$는 크로네커 델타이다. 같은 방식으로 $L_{-}$에 대해서는 아래의 식을 얻는다.
$$ \begin{align*} \braket{\ell,m^{\prime} | L_{-}|\ell,m} &= \sqrt{(\ell + m)(\ell - m + 1)}\hbar\braket{\ell,m^{\prime} | \ell,m-1} \\ &= \sqrt{(\ell + m)(\ell - m + 1)}\hbar \delta_{m^{\prime}, m-1} \end{align*} $$
$\ell = 1$일 때 가능한 $m$은 $1, 0, -1$이므로 $L_{\pm}$가 편의상 $L_{\pm}$의 행과 열의 순서가 $1, 0, -1$이라고 하자. 그러면 고유 함수의 좌표 벡터는 다음과 같다.
$$ \ket{1, 1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ket{1, 0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ket{1, -1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$
그러면 수식 $L_{+} \ket{\ell, m} = \sqrt{(\ell-m)(\ell + m + 1)}\hbar\ket{\ell, m+1}$으로 고유함수의 상태가 올라가는 것이 다음과 같이 직관적으로 표현된다. $\ell = 1$이라 하면,
$$ L_{+} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\hbar \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] L_{+} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\hbar \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$
행렬 $L_{+}$는 다음과 같다.
$$ \begin{align*} L_{+} &= \begin{bmatrix} \braket{1, 1 | L_{+}| 1, 1} & \braket{1, 1 | L_{+}| 1, 0} & \braket{1, 1 | L_{+}| 1,-1} \\ \braket{1, 0 | L_{+}| 1, 1} & \braket{1, 0 | L_{+}| 1, 0} & \braket{1, 0 | L_{+}| 1,-1} \\ \braket{1,-1 | L_{+}| 1, 1} & \braket{1,-1 | L_{+}| 1, 0} & \braket{1,-1 | L_{+}| 1,-1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0\hbar \delta_{1, 2} & \sqrt{2}\hbar \delta_{1 , 1} & \sqrt{2}\hbar \delta_{ 1, 0} \\ 0\hbar \delta_{0, 2} & \sqrt{2}\hbar \delta_{0 , 1} & \sqrt{2}\hbar \delta_{ 0, 0} \\ 0\hbar \delta_{1, 2} & \sqrt{2}\hbar \delta_{-1, 1} & \sqrt{2}\hbar \delta_{-1, 0} \end{bmatrix} \\ &= \hbar \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align*} $$
마찬가지로 $L_{-}$에 대해서는 다음과 같다.
$$ L_{-} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\hbar \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] L_{-} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\hbar \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$
$$ L_{-} = \hbar \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{bmatrix} $$
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각운동량 연산자
$L_{z}$와 $L^2$의 동시 고유함수는 $\ket{\ell, m}$이고 고유값 방정식은
$$ \begin{align*} L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar \ket{\ell, m} \\ L^2\ket{\ell, m} &= \ell(\ell+1)\hbar^2 \ket{\ell, m} \end{align*} $$
이므로
$$ \braket{\ell,m^{\prime} | L_{z}|\ell,m}=m\hbar \braket{\ell,m^{\prime} | \ell,m}=m\hbar \delta_{mm^{\prime}} $$
따라서 $[(L_{z})_{mn}] = m \hbar \delta_{mn}$이다. 이때 $\delta$는 크로네커 델타이다. $\ell = 1$일 때 가능한 $m$은 $1, 0, -1$이므로 $L_{z}$가 편의상 $1$행, $0$행, $-1$행을 가진다고 하자. 각 고유 함수의 좌표 벡터를 다음과 같다고 하자.
$$ \ket{1, 1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ket{1, 0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ket{1, -1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$
그러면 $[(L_{z})_{mn}] = m \hbar \delta_{mn}$이므로,
$$ \begin{align*} L_{z} &= \begin{bmatrix} (L_{z})_{11} & (L_{z})_{10} & (L_{z})_{1-1} \\ (L_{z})_{01} & (L_{z})_{00} & (L_{z})_{0-1} \\ (L_{z})_{-11} & (L_{z})_{-10} & (L_{z})_{-1-1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1\hbar\delta_{1,1} & 1\hbar\delta_{1,0} & 1\hbar\delta_{1,-1} \\ 0\hbar\delta_{0,1} & 0\hbar\delta_{0,0} & 0\hbar\delta_{0,-1} \\ -1\hbar\delta_{-1,1} & -1\hbar\delta_{-1,0} & -1\hbar\delta_{-1,-1} \end{bmatrix} \\ &= \hbar \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \end{align*} $$
또한 $L_{x} = \dfrac{1}{2} (L_{+} + L_{-})$이고, $L_{y} = -\dfrac{\i}{2}(L_{+} - L_{-})$이므로 $L_{x}$와 $L_{y}$는 다음과 같다.
$$ \begin{align*} L_{x} &= \dfrac{1}{2} (L_{+} + L_{-}) \\ &= \dfrac{1}{2}\left( \hbar\begin{bmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \hbar\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{bmatrix} \right) \\ &= \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \end{align*} $$
$$ \begin{align*} L_{y} &= -\dfrac{\i}{2} (L_{+} - L_{-}) \\ &= -\dfrac{\i}{2}\left( \hbar\begin{bmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} - \hbar\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{bmatrix} \right) \\ &= \dfrac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & -\i & 0 \\ \i & 0 & -\i \\ 0 & \i & 0 \end{bmatrix} \\ \end{align*} $$