📂위상수학

전사 연속함수는 연결성을 보존한다

정리

연결 공간 $X$ 에 대해 $f : X \to Y$ 가 전사 연속함수면 $Y$ 는 연결 공간이다.

설명

연결과 연속처럼 비슷한 말이 섞여있어서 조금 헷갈릴 수도 있다. 대개는 영어로 외우면 해결되지만 이 정리에 쓰이는 영단어는 Connected 와 Continuous기 때문에 큰 도움은 되지 않는다.

증명

$Y$ 가 연결 공간이 아니라고 가정하면 $$ A \cap B = \emptyset \\ A \cup B = Y $$ 를 만족하는 열린 진부분집합 $A,B \subset Y$ 가 존재할 것이다. $f$ 는 전사 함수이므로 $f^{-1}(A)$ 와 $f^{-1}(B)$ 는 공집합이 아니다.

$f$ 가 연속함수면 모든 열린 집합 $V \subset Y$ 에 대해, $f^{-1} (V)$ 가 $X$ 에서 열린 집합이다.

$f$ 는 연속함수이므로 $f^{-1}(A)$ 와 $f^{-1}(B)$ 는 $X$ 에서 열린 집합이다. 그러나 교집합을 취해보면 $$ f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B) = f^{-1} (A \cap B) = f^{-1} ( \emptyset ) = \emptyset $$ 인데 합집합을 취해보면 $$ f^{-1} (A) \cup f^{-1} (B) = f^{-1} (A \cup B) = f^{-1} ( Y ) = X $$ 이다. 따라서 $X$ 는 비연결 공간이고 이는 모순이다.

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증명을 잘 살펴보면 알겠지만 연결성이 위상적 성질임을 보이는 방법과 정확하게 같다. 그냥 정리 전체보단 팩트로써의 성격이 강해진 아래의 따름정리가 더 써먹기 용이할 것이다.

따름정리

연결 공간 $X$ 에 대해 $f : X \to Y$ 가 연속함수면 $f(X)$ 는 연결 공간이다¹.