📂위상수학

위상수학에서 연결성이란

정의 ¹

위상공간 $X$ 에서 $A \cap B = \emptyset$ 과 $A \cup B = X$ 을 만족하는 열린 집합 $A \ne \emptyset$, $B \ne \emptyset$ 이 존재하면 $X$ 를 비연결^disconnected 공간이라고 한다. 비연결공간이 아니면 연결^connected 공간이라고 한다.

정리

• [1]: 연결성은 위상적 성질이다.
• [2]: 모든 자명공간은 연결 공간이다.
• [3]: 모든 이산공간은 비연결 공간이다.
• [4]: 모든 홑원소집합은 연결이다.

설명

연결되지 않았다는 걸 표현하기엔 상당히 직관적인 정의고, 그 부정인 연결 역시 쉽게 납득할 수 있을 것이다. 그래프 이론에서도 이와 흡사하게 연결을 정의한다.

예로써 유클리드 공간 $( \mathbb{R} , d )$ 을 생각해보면 어떤 개구간을 생각해도 비연결의 조건을 만족시키지 못해 연결 공간이다. 한편 그 부분공간 $( \mathbb{Q}, d )$ 을 생각해보면 $( \mathbb{Q} , d ) = ( \mathbb{Q} , \mathscr{P} ( \mathbb{Q} ) )$ 가 이산공간이므로 비연결 공간임을 쉽게 보일 수 있다.

증명

[1]

위상동형사상 $f : X \to Y$ 가 존재하고 $X$ 가 연결 공간이라고 하자. $Y$ 가 연결 공간임을 보이면 증명은 끝난다.

$Y$ 가 비연결 공간이라고 가정하면 $$A \cap B = \emptyset \\ A \cup B = Y$$ 를 만족하는 열린 집합 $A, B \subset Y$ 가 존재한다.

$f$ 가 연속함수면 모든 열린 집합 $V \subset Y$ 에 대해, $f^{-1} (V)$ 가 $X$ 에서 열린 집합이다.

$Y$ 는 연속함수이므로 $f^{-1} (A)$ 와 $f^{-1} (B)$ 는 $X$ 에서 열린 집합이다. 그러나 $$f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B) = f^{-1} (A \cap B) = f^{-1} ( \emptyset ) = \emptyset \\ f^{-1} (A) \cup f^{-1} (B) = f^{-1} (A \cup B) = f^{-1} ( Y ) = X$$ 다. 결국 $X$ 는 비연결 공간인데, 이는 전제에 모순이다.

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[2]

자명공간 $X$ 의 위상 $\mathscr{T} = \left\{ \emptyset , X \right\}$ 에 공집합이 아닌 두 열린 집합이 존재하지 않으므로 $X$ 는 연결 공간이다.

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[3]

$X$ 의 원소가 하나뿐이면 이산공간이기 이전에 자명공간이므로 $X$ 는 둘 이상의 원소를 갖는다고 가정해야 할 것이다. 이산공간 $X$ 에서 공집합이 아닌 모든 열린 집합 $U$ 에 대해 $V = X \setminus U$ 이 $X$ 에서 열린 집합이므로 비연결 공간이다.

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[4]

$A , B \subset \left\{ x \right\}$ 에 대해 $A \cap B = \emptyset$ 을 만족하려면 $A$ 혹은 $B$ 가 반드시 공집합이어야하므로 비연결 공간이 될 수 없다.

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