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자연로그의 거듭제곱의 적분법 📂보조정리

자연로그의 거듭제곱의 적분법

공식

∫(ln⁡x)ndx=x(ln⁡x)n−∫n(ln⁡x)n−1dx \int {{(\ln x)}^{ n }} dx=x{{(\ln x)}^{ n }}-\int n{{(\ln x)}^{ n-1 }}dx

설명

적분 문제를 풀다보면 심심치 않게 보게 되는 유형이다. 이런 문제들을 풀 때 정직하게 부분적분으로 풀면 시간을 너무 많이 빼앗긴다. 우선은 규칙부터 찾아보도록 하자. f(n)=∫(ln⁡x)ndxf(n)=\int {{(\ln x)}^{ n }} dx (단, n=1,2,3…n=1,2,3…)이라 할 때

f(1)=x(ln⁡∣x∣−1)+Cf(2)=x(ln⁡∣x∣)2−2ln⁡∣x∣+2+Cf(3)=x(ln⁡∣x∣)3−3(ln⁡∣x∣)2+6ln⁡∣x∣−6+Cf(4)=x(ln⁡∣x∣)4−4(ln⁡∣x∣)3+12(ln⁡∣x∣)2−24ln⁡∣x∣+24+C \begin{align*} f(1) =& x(\ln|x|-1)+C \\ f(2) =& x{(\ln|x|)^{ 2 }-2\ln|x|+2}+C \\ f(3) =& x{(\ln|x|)^{ 3 }-3(\ln|x|)^{ 2 }+6\ln|x|-6}+C \\ f(4) =& x{(\ln|x|)^{ 4 }-4(\ln|x|)^{ 3 }+12(\ln|x|)^{ 2 }-24\ln|x|+24}+C \end{align*}

네제곱까지 적분을 한 결과를 보면 어떤 규칙이 보인다. f(n)f(n)에서 x(ln⁡∣x∣)nx(\ln|x|)^{ n } 만 제외하고 보면 f(n−1)f(n-1)에서 적분상수를 떼고 −n-n곱을 하고 있다.

f(1)=x(ln⁡∣x∣−1)+C f(1)=x(\ln|x|-1)+C

↓ln⁡∣x∣−1\downarrow \ln|x|-1 에 −2-2 를 곱한다.

f(2)=x(ln⁡∣x∣)2−2ln⁡∣x∣+2+C f(2)=x{(\ln|x|)^{ 2 }-2\ln|x|+2}+C

↓–2ln⁡∣x∣+2\downarrow –2\ln|x|+2 에 −3-3 을 곱한다

f(3)=x(ln⁡∣x∣)3−3(ln⁡∣x∣)2+6ln⁡∣x∣−6+C f(3)=x{(\ln|x|)^{ 3 }-3(\ln|x|)^{ 2 }+6\ln|x|-6}+C

↓−3(ln⁡∣x∣)2+6ln⁡∣x∣−6\downarrow -3(\ln|x|)^{ 2 }+6\ln|x|-6 에 −4-4 를 곱한다.

f(4)=x(ln⁡∣x∣)4−4(ln⁡∣x∣)3+12(ln⁡∣x∣)2−24ln⁡∣x∣+24+C f(4)=x{(\ln|x|)^{ 4 }-4(\ln|x|)^{ 3 }+12(\ln|x|)^{ 2 }-24\ln|x|+24}+C

위의 과정을 nn 에 대해 일반화하면

∫(ln⁡x)ndx=x(ln⁡x)n−∫n(ln⁡x)n−1dx \int {{(\ln x)}^{ n }} dx=x{{(\ln x)}^{ n }}-\int n{{(\ln x)}^{ n-1 }}dx

식을 보면 알겠지만 차수만 보고 바로 줄줄 쓰는 건 어렵기 때문에 2차 혹은 3차까지는 아예 외워두는 게 좋다.

참고

자연로그와 e의 거듭제곱은 서로 밀접한 관련이 있어 여기저기서 모양이 비슷한 경우가 많다.

∫xnexdx=xnex−∫nxn−1exdx \int x^{ n }e^{ x }dx=x^{ n }e^{ x }-\int nx^{ n-1 }e^{ x }dx

여기서 소개된 차수와 달라지는 것은 xx 의 차수 뿐이다.

∫λxeλxdx=(x−1λ)eλx+c \int { \lambda x { e }^{ \lambda x }dx }=\left( x-\frac { 1 }{ \lambda } \right) {e}^{ \lambda x }+c

n=1n=1 이고 xx 가 상수배일 경우도 생각보다 자주 쓰인다. 꼭 저런 모양이 아니더라도 적절하게 변형한 후 공식을 적용시키면 풀이가 한결 쉬워진다.