📂복소해석

슈발츠-크리스토플 변환

정리 ¹

복소평면 상에서 $n$ 개의 각을 가진 꺾인 선을 $\mathscr{P}$ 라고 하고 그 각들을 $w_{r}$, 그 내각의 크기를 $\psi_{r}$ 라 하자. 그러면 $K, C, z_{0} \in \mathbb{C}$ 와 $x_{r} \in \mathbb{R}$ 에 대해 $f(x_{r}) = w_{r}$ 를 만족시키는 변환 $$ w = f(z) = K \int_{z_{0}}^{z} \prod_{r = 1}^{n} ( \zeta - x_{r})^{ \psi_{r} / \pi - 1 } d \zeta + C $$ 은 실수축을 꺾인 선 $\mathscr{P}$ 로 대응시킨다. 이를 슈발츠-크리스토플 변환^{schwarz Christoffel Transformation}이라 부른다.

설명

만약 $z_{0} = 0$ 이라고 하면 단위원 $|z|=1$ 상의 $z_{1} , \cdots , z_{n}$ 에 대한 사상으로 나타내어진다. 증명은 너무 길고 따분하기 때문에 생략하겠지만 대충 감만 잡아보자면 $f '$ 는 미적분학의 기본정리에 의해 $$ f ' (z) = K \prod_{r=1}^{n} (z - x_{r})^{\psi_{r} / \pi - 1} $$ 이고, $f ' (x_{r}) = 0$, 즉 임계점이 나타남을 확인할 수 있다.

임계점의 기하학적인 의미를 생각해보면 어떻게 이런 형태의 함수가 발견되었나는 어렵지 않게 짐작할 수 있을 것이다. 꺾인 선이라고 하면 당연히 다각형을 포함하기 때문에 그 중요성은 두말할 것도 없을 것이다.

$\mathscr{P}$ 가 다각형인 경우 $Z$-평면의 윗쪽, 즉 $\operatorname{Im} z > 0$ 를 만족하는 점들은 $\mathscr{P}$ 의 내부에 대응됨을 알아두도록 하자. 놀랍게도 $x_{n} = \infty$ 와 같은 경우를 허용해도 별로 상관이 없는데, $K = K ' ( - x_{n})^{- \alpha_{n}}$ 으로 두면 $$ f(z) = K ' \int_{z_{0}}^{z} \prod_{r = 1}^{n-1} ( \zeta - x_{r})^{ \psi_{r} / \pi - 1 } \left( 1 - {{ \zeta } \over { x_{n} }} \right)^{\psi_{n} / \pi - 1} d \zeta + C $$ 인데 $\displaystyle \lim_{x_{n} \to \infty} \left( 1 - {{ \zeta } \over { x_{n} }} \right) = 1$ 이므로 그냥 없는 셈 치면 된다.