📂복소해석

쥬코프스키 변환

정의 ¹

$\displaystyle w = f(z) = a z + {{b} \over {z}}$ 라고 하자. $a=b$ 면 $f$ 를 쥬코프스키 변환^{joukowski transform}이라고 하고, 중심이 $0$ 이 아닌 원을 비행기 날개의 단면 모양으로 대응시킨다.

• [1]: $f$ 는 중심이 $0$ 인 원을 타원으로 대응시킨다.
• [2]: $f$ 는 $0$ 에서 시작되는 반직선을 쌍곡선으로 대응시킨다.

설명

쥬코프스키^zhukovsky는 항공역학 등의 분야에 업적을 남긴 소련의 물리학자다.비행기 날개의 단면을 원과 대응시킬 수 있다는 것은 항공역학의 문제를 복소해석으로 풀어낼 수 있다는 뜻이다.

증명

[1]

$z= r e^{i \theta}, w = u + iv$ 라고 하면 $$ u = ar \cos \theta + {{b} \over {r}} \cos \theta = \left( ar + {{b} \over {r}} \right) \cos \theta \\ v = ar \sin \theta - {{b} \over {r}} \sin \theta = \left( ar - {{b} \over {r}} \right) \sin \theta $$

$\displaystyle p := ar + {{b} \over {r}}, q := ar - {{b} \over {r}}$ 라고 두면 $$ {{u} \over {p}} = \cos \theta \\ \displaystyle {{v} \over {q}} = \sin \theta $$ 이므로 $$ {{u^2} \over {p^2}} + {{v^2} \over {q^2}} = 1 $$ $r$ 을 상수로 두면 $f$ 는 원 $|z| = r$ 을 타원으로 대응시킴을 알 수 있다.

■

[2]

$z= r e^{i \theta}, w = u + iv$ 라고 하면 $$ u = ar \cos \theta + {{b} \over {r}} \cos \theta = \left( ar + {{b} \over {r}} \right) \cos \theta \\ \displaystyle v = ar \sin \theta - {{b} \over {r}} \sin \theta = \left( ar - {{b} \over {r}} \right) \sin \theta $$ 한편 $$ {{u} \over { \cos \theta }} = ar + {{b} \over {r}} \\ \displaystyle {{v} \over { \sin \theta }} = ar - {{b} \over {r}} $$ 이므로 $$ {{u^2} \over { \cos^2 \theta }} - {{v^2} \over {\sin^2 \theta }} = 4ab $$ $\theta$ 를 상수로 두면 $f$ 는 $x$ 축과 이루는 각의 크기가 $\theta$ 인 반직선을 쌍곡선으로 대응시킴을 알 수 있다.

■