📂위상수학

위상수학에서의 부분기저

정의 ¹

위상공간 $\left( X , \mathscr{T} \right)$ 에 대해 $\mathscr{S} \subset \mathscr{T}$ 이라 하자.

$\displaystyle \mathscr{B} = \left\{ \left. B = \bigcap_{ i = 1}^{n} S_{i} \ \right| \ S_{i} \in \mathscr{S} \right\}$ 가 $\mathscr{T}$ 의 기저가 될 때, $\mathscr{S}$ 를 $\mathscr{T}$ 의 부분기저^subbasis라 한다.

설명

부분기저를 받아들이기 어려운 이유는 보통 수학에서 ‘부분’을 붙일 때는 부분집합이면서 원래의 성질을 유지하기 때문이다. 예를 들어 부분군이라면 부분집합이 군의 조건을 만족할 때, 부분공간이라면 부분집합이 공간의 조건을 만족하는 식이다. 이런 의미에서 부분기저는 개념보다 그 용어가 헷갈려서 더 어렵다고 할 수 있겠다.

일단 정의 상 $\mathscr{S}$ 가 부분기저가 되었다면 기저 $\mathscr{B}$ 에 대해 부분집합, 즉 $\mathscr{S} \subset \mathscr{B}$ 는 자명하다. 그러나 $\mathscr{S}$ 는 모든 유한교집합의 집합으로써 $\mathscr{B}$ 를 구성해야 기저가 되므로, 기저로써는 아직 미숙하다고 표현할 수도 있겠다.

오히려 이제까지의 수학을 생각해보면 부분기저는 기저의 기저가 된다고 하는 편이 더 자연스러운 것이다. 문제는 ‘부분’이라는 걸 납득했더라도 여전히 부분기저의 정의 자체가 복잡하고 기괴하다는 것이다. 이러한 면에 대해서는 그냥 나중에 위상공간들의 곱을 위해 배워야하는 것이라고 받아들이는 게 마음 편하다. 그에 대한 공부를 어느정도 하고나면 왜 하필 유한교집합을 생각하는지도 알 수 있게 될 것이다.

이제 예제를 보며 조금이나마 개념을 잡아보자.

예제

$\mathscr{S} = \left\{ (- \infty , b ), ( a , \infty ) \ | \ a,b \in \mathbb{R} \right\}$ 는 거리공간 $\mathbb{R}$ 의 부분기저임을 보여라.

풀이

두 개구간 $( - \infty , b )$ 와 $( a , \infty )$ 의 교집합으로써 모든 개구간 $(a,b)$ 의 집합을 이룰 수 있으므로 $\mathscr{S}$ 는 부분기저가 된다.

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