📂복소해석

쌍선형변환

정의 ¹

정의역에서 등각사상인 $f$ 를 다음과 같이 부른다.

1. 이동^translation $f(z) = z + \alpha$
2. 확대^{magnification}: $f(z) = \rho z$
3. 회전^rotation: $f(z) = e^{i \theta} z$
4. 반전^inversion: $f(z) = {{1} \over {z}}$
5. 쌍선형변환^{bilinear transform}: $\displaystyle f(z) = {{ \alpha z + \beta } \over { \gamma z + \delta }}$

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• 이동에서 $\alpha \in \mathbb{C}$ 이고, 확대에서 $\rho \in \mathbb{R}^{ \ast }$ 이다.

설명

1~4에서 가장 이질적인 것은 4. 반전이고, 그래서 1~3만을 합성한 것을 따로 선형변환^{linear transform}이라고 한다. 어떤 도형이든 움직이거나 확대축소하거나 회전을 해도, 즉 선형변환을 취해도 모양 그 자체는 유지하지만 반전은 그렇지 않다.

쌍선형변환을 잘 살펴보면 1~4를 합성한 것으로, 뫼비우스^Möbius에 의해 처음 연구되어 뫼비우스 변환이라고도 불린다. 미분하면 $\displaystyle f '(z) = {{ \alpha \delta - \beta \gamma } \over { ( \gamma z + \delta )^2 }}$ 인데, 등각사상의 조건을 만족시키기 위해선 $\alpha \delta \ne \beta \gamma$ 여야함에 주의하도록 하자.