📂추상대수

모든 순환군은 정수군과 동형임을 증명

정리 ¹

순환군 $\left< a \right>$ 가 유한군이면 $\left< a \right> \simeq \mathbb{Z}_{n}$ 이고 무한군이면 $\left< a \right> \simeq \mathbb{Z}$ 이다.

설명

이 정리로 순환군에 대한 탐구는 사실상 거의 끝난다. 추상적이기만 했던 군이 단숨에 정수론의 영역으로 떨어지기 때문에 할 수 있는 게 상당히 많아진다. 반대로 군론의 이론들을 이용해서 정수론의 문제를 풀어내는 것 역시 가능할 것이다.

증명

어떤 $m \in \mathbb{n}$ 에 대해 $a^m = e$ 을 만족하는 경우와 만족하지 않는 경우로 나누어서 증명한다. 이는 사실상 $\left< a \right>$ 가 유한인 경우와 무한인 경우를 나누는 것이다.

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Case 1. 어떤 자연수 $m$ 에 대해 $a^m = e$

$a^m = e$ 을 만족시키는 가장 작은 자연수를 $n$ 이라 하자. $0 \le r < n$ 에 대해 자연수 $s = nq + r$ 을 생각해보면 $$ a^{s} = a^{nq + r} = (a^{n})^{q} a^{r} = e^{q} a^{r} = a^{r} $$ 이다. $n$ 보다 작은 서로 다른 두 자연수 $h > k$ 에 대해 $a^{h} = a^{k}$ 라고 가정하면 $a^{h-k} = e$ 이고 $(h-k) < n$ 이므로 $n$ 은 $a^m = e$ 을 만족시키는 가장 작은 자연수가 아니게 되어 모순이다. 따라서 $a^{0} = e$ 와 $a , a^2 , \cdots , a^{n-1}$ 들은 모두 서로 다른 원소여야만한다. 이제 함수 $\phi : \left< a \right> \to \mathbb{Z}_{n}$ 을 $\phi (a^{i}) = i$ 로 정의하면 전단사가 되고, $$ \phi ( a^{i} a^{j} ) \equiv \phi ( a^{i + j } ) \equiv i + j \equiv \phi (a^{i}) + \phi (a^{j}) \pmod{n} $$ 을 만족하므로 다음이 성립한다. $$ \left< a \right> \simeq \mathbb{Z}_{n} $$

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Case 2. 모든 자연수 $m$ 에 대해 $a^m \ne e$

서로 다른 두 자연수 $h > k$ 에 대해 $a^{h} = a^{k}$ 라고 가정해보면 $$ a^{h} a^{-k} = a^{h - k } = e $$ 이므로 $( h - k) \in \mathbb{N}$ 가 존재해서 가정에 모순이고, 따라서 $a^m = e$ 을 만족시키는 자연수 $m$ 이 존재한다면 유일해야한다. 이제 함수 $\phi : \left< a \right> \to \mathbb{Z}$ 를 $\phi (a^{i}) = i$ 로 정의하면 전단사가 되고, $$ \phi ( a^{i} a^{j} ) = \phi ( a^{i + j } ) = i + j = \phi (a^{i}) + \phi (a^{j}) $$ 를 만족하므로 다음이 성립한다. $$ \left< a \right> \simeq \mathbb{Z} $$

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결국 순환군은 유한군이든 무한군이든 정수군과 동형이다.

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