📂복소해석

등각사상은 내각의 크기를 보존한다

정리 ¹

복소영역 $\mathscr{R}$ 에서 함수 $f$ 가 등각사상이고 곡선 $\mathscr{C}_{1}$ 과 $\mathscr{C}_{2}$ 가 한 점 $\alpha$ 에서 만나며 그 내각을 $\psi$ 라고 하자.

$\mathscr{C}_{1} ' $ 과 $\mathscr{C}_{2} ' $ 가 $\mathscr{C}_{1}$ 과 $\mathscr{C}_{2}$ 를 $f$ 로 보낸 상이라고 하면 두 곡선은 $\beta = f ( \alpha )$ 에서 만나며 그 내각 역시 $\psi$ 다.

설명

해석학답게 말은 어렵지만 요는 도형들이 이루는 내각을 등각사상이 보존한다는 것이다. 애초에 등각사상이라는 이름 자체가 이러한 성질에서 나온 것이다.

한편 이렇게 각의 크기는 보존하되 부호가 반대가 되도록 하는 사상을 등편각 사상^{isogonal mapping}이라고 한다.

증명

$f$ 는 $z = x + iy$ 를 $w = u + iv$ 로 보내는 등각사상이다.

$\mathscr{C}_{1}$ 과 $x$ 축이 이루는 내각의 크기를 $\psi_{1}$, $\mathscr{C}_{1}$ 상의 한 점을 $z_{1}$ 이라고 하자. 비슷하게 $\mathscr{C}_{2}$ 과 $x$ 축이 이루는 내각의 크기를 $\psi_{2}$, $\mathscr{C}_{2}$ 상의 한 점을 $z_{2}$ 이라고 하자. 그러면 $\mathscr{C}_{1}$ 과 $\mathscr{C}_{2}$ 이 이루는 내각은 $\psi_{2} - \psi_{1} = \psi$ 이 될 것이다.

$$ z - \alpha := r e^{i \theta_{1}} \\ z_{2} - \alpha = r e^{i \theta_{2}} $$ 이라고 두면 $r \to 0$ 일 때 $$ \theta_{1} \to \psi_{1} \\ \theta_{2} \to \psi_{2} $$ 이다. 한편 $w_{k}: = f(z_{k})$ 라 하면 $$ w_{1} - \beta = R_{1} e^{i \phi _{1}} \\ w_{2} - \beta = R_{2} e^{i \phi _{2}} $$ 이다. 가정에서 $f ' (\alpha) \ne 0$ 가 존재한다고 했으므로, $\rho > 0$ 에 대해 $f ' (\alpha) = \rho e^{ i \lambda }$ 로 둘 수 있다.

$$ f ’ ( \alpha) = \lim_{z_{1} \to \alpha } {{w_{1} - \beta } \over {z_{1} - \alpha }} = \lim_{z_{1} \to \alpha} {{R_{1}} \over {r}} e^{ i ( \phi_{1} - \theta_{1} )} = \rho e^{ i \lambda } $$ 이므로 $$ \lim_{z_{1} \to \alpha } (\phi_{1} - \theta_{1}) = \lambda $$ 고, 이에 따라 $$ \lim_{w_{1} \to \beta } \phi_{1} = \psi_{1} + \lambda \\ \lim_{w_{2} \to \beta } \phi_{2} = \psi_{2} + \lambda $$ 를 얻을 수 있다. 따라서 $\mathscr{C}_{1} ' $ 과 $u$ 축이 이루는 내각의 크기는 $\psi_{1} + \lambda$ 고 $\mathscr{C}_{2} ' $ 과 $u$ 축이 이루는 내각의 크기는 $\psi_{2} + \lambda$ 이 된다. 마지막으로, $\mathscr{C}_{1} ' $ 과 $\mathscr{C}_{2} ' $ 이 이루는 내각은 $\lambda$ 끼리 상쇄되어 $$ (\psi_{2} + \lambda) - (\psi_{1} + \lambda) = \psi_{2} - \psi_{1} = \psi $$ 이 된다.

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