복소해석에서 등각사상이란?
정의 1
함수 $f: A \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 $\mathscr{R} \subset A$ 에서 해석적이고 모든 $z \in \mathscr{R}$ 에 대해 $f ' (z) \ne 0$ 이면 $f$ 를 등각사상conformal mapping 혹은 등각변환conformal transform이라고 한다. 한편 $f ' (\alpha) = 0$ 를 만족하는 점 $\alpha$ 가 존재하면 $\alpha$ 를 $f$ 의 임계점critical point이라고 한다.
설명
등각等角이라는 한자 그대로 등각변환을 취하면 도형들이 이루는 각이 보존된다.
그 이름답게 등각사상끼리의 합성은 등각사상이라는 사실을 알아두도록 하자. 증명은 다음의 대우를 확인하는 것으로 충분하다. $$ (f \circ g) ' = f '(g) g' = 0 \iff g' = 0 \lor f ' = 0 $$
이러한 등각변환은 단순폐경로를 많이 다루는 복소해석에서 매우 중요한 것으로, 적분경로를 다룰 때 유용하게 쓰인다. 임계점은 기하학적으로 생각해보자면 방향을 바꾸기 위해 완전히 멈추는, 즉 꺾이는 지점이라고 할 수 있다. 한편 해석적이면서 단사인 함수는 아래의 두가지 중요한 성질을 가진다.
기초 성질 1
- [1]: 만약 함수 $f$ 가 $\mathscr{R}$ 에서 해석적이고 단사면, 모든 $z \in \mathscr{R}$ 에서 $f ' (z) \ne 0$ 이다. 다시 말해, $f$ 는 등각사상이다.
- [2]: 만약 함수 $f$ 가 $\mathscr{R}$ 에서 해석적이고 단사며 단순폐경로 $\mathscr{C}$ 를 $\mathscr{C} ' $ 로 대응시킨다고 하자. 그러면 $f$ 는 $\mathscr{C}$ 내부의 점을 $\mathscr{C} ' $ 의 내부 혹은 외부로만 대응시킨다.
- [1]에서 필요충분조건은 아님에 주의하도록 하자. [2] 는 특히 중요한 성질로써, $\mathscr{C}$ 내부의 한 점만 체크하면 그 외의 점이 $\mathscr{C} ' $ 의 내부로 가는지 외부로 가는지 알 수 있다.