📂복소해석

복소해석에서 역함수 정리 증명

정리 ¹

함수 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 $\alpha$ 에서 해석적이고 $f ' (\alpha) \ne 0$ 이면 $\mathcal{N} \left( f(\alpha) \right)$ 에서 $f^{-1}$ 가 존재한다.

설명

$f ' (\alpha) \ne 0$ 이라는 조건을 잘 생각해보자.

실수함수로 생각해보면 증가함수거나 감소함수라는 것이고, 이는 역함수가 존재하는 조건이 된다. 기하적인 표현을 빌리자면 매끄러운^smooth 함수를 말하는 것이고, 이는 갑자기 방향을 트는 등의 꺾인 점이 없다는 뜻이다. 역함수 정리에서 주의해야할 것은 이러한 조건을 만족시켰더라도 그 역함수 자체가 존재하는 게 아니라 국지적인 한계가 있다는 것이다.

증명

$w \in \mathcal{N} (f(\alpha))$ 에 대해 방정식 $w = f(z)$ 가 유일한 해를 가짐을 보이면 된다.

---

$$ \beta := f(\alpha) \\ g(z) := f(z) - \beta $$ 이라고 두면 $g(\alpha) = 0$ 이고 $g ' (\alpha) \ne 0$ 이다. 그 말인즉슨 $\alpha$ 는 $g$ 의 단순영점이며 $|z - \alpha | \le \rho$ 에서 $g(z) \ne 0$ 을 만족하는 $\rho >0$ 가 존재한다는 것이다.

원 $\mathscr{C}: |z - \alpha| = \rho$ 에 대해 $$ m := \min_{\mathscr{C}} |g(z)| \\ |\gamma| < m $$ 를 만족하는 $h(z) := -\gamma$ 를 정의하자. 그러면 $\mathscr{C}$ 에서 다음이 성립한다. $$ g(z) \ne 0 \\ |h(z) | = | - \gamma | = |\gamma| < m \le |g(z)|$$

로체의 정리: $g$ 와 $h$ 가 단순폐경로 $\mathscr{C}$ 에서 해석적이고 $\mathscr{C}$ 상에서 $|h(z)| \le |g(z)|$ 을 만족하면 $g$ 와 $g + h$ 는 $\mathscr{C}$ 내부에서 같은 수의 영점을 갖는다.

로체의 정리에 의해, $g$ 와 $g + h = g - \gamma$ 는 $\mathscr{C}$ 내부에서 같은 수의 영점을 갖는다.

그런데 앞서 본 것과 같이 $g$ 는 단순영점 $\alpha$ 하나만을 갖고 있었으므로, $g(z) - \gamma = 0$ 을 만족하는 영점 역시 $\mathscr{C}$ 내부에서 오직 하나다. 정리하면 방정식 $g(z) = \gamma$ 가 $\mathscr{C}$ 의 내부에서 오직 하나의 해만을 갖는다고 말할 수 있다.

이제 $w = \beta + \gamma$ 라고 하면 $$ f(z) - \beta = w - \beta $$ 즉 $w = f(z)$ 가 $\mathscr{C}$ 의 내부 $\mathcal{N}(\alpha): |z - \alpha| < \rho$ 에서 유일한 해를 갖는다.

같이보기

• 해석학에서의 역함수 정리

■