📂추상대수

추상대수학에서의 동형

정의 ¹

두 이항연산구조 $\left< S , * \right>$ 와 $\left< S' , *' \right>$ 에 대해 전단사 함수 $\phi : S \to S'$ 가 존재해서 모든 $x , y \in S$ 에 대해 $$ \phi (x \ast\ y) = \phi ( x ) *' \phi ( y ) $$ 를 만족하면 $\phi$ 를 동형사상이라 부르고 $S$ 와 $S'$ 가 동형^isomorphic이라 하고 $S \simeq S'$ 라 쓴다.

설명

정의를 요약하자면 연산를 보존하는 전단사가 존재해주면 사실상 서로 같다고 보겠다는 것이다. 꼭 추상대수에서 말하는 아이소멀피즘^isomorphism이 아니라도 이러한 사상은 수학 전반에서 무척 중요하다.

만약 $\phi$ 가 연산은 보존하되 전단사까지는 아닐 경우 이를 준동형사상^homomorphism이라 한다. 이와 같이 동형사상은 아니지만 여러 중요한 사상들이 있고 그에 대한 연구도 수없이 많다.

다음은 동형사상에 의해 항등원의 정체성 역시 보존된다는 의미의 정리다.

정리

동형사상 $\phi$ 에 의해 $S \simeq S'$ 이고 $e$ 가 $S$ 의 항등원이면 $\phi (e)$ 는 $S'$ 의 항등원이다.

증명

$e$ 가 $S$ 의 항등원이므로, $s \in S$ 에 대해 $$ e \ast\ s = s \ast\ e = s $$

$$ \phi ( e \ast\ s ) = \phi ( s \ast\ e ) = \phi ( s ) $$ $\phi$ 는 동형사상이므로, $s' : = \phi (s) \in S'$ 에 대해 $$ \phi ( e ) *' \phi ( s ) = \phi ( s ) *' \phi ( e ) = \phi ( s ) $$ 따라서 $\phi (e)$ 는 $S'$ 의 항등원이다.

■

같이보기

• 그래프 이론에서의 동형