📂위상수학

위상공간에서의 집적점과 수렴, 도집합

정의 ¹

위상공간 $\left( X , \mathscr{T} \right)$ 이 주어져 있다고 하자.

1. $A \subset X$ 에 대해 $x$ 를 포함하는 임의의 열린 집합 $O$ 가 $O \cap ( A \setminus \left\{ x \right\} ) \ne \emptyset$ 를 만족하면 $x$ 를 $A$ 의 집적점^{limit point} , $A$ 의 모든 집적점의 집합 $a '$ 를 $A$ 의 도집합^{derived set}이라 한다.
2. $X$ 의 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$ 이 $x$ 에 수렴한다^converge는 것은 $x$ 를 포함하는 임의의 열린 집합 $O$ 에 대해 다음을 만족하는 $n_{0} \in \mathbb{N}$ 이 존재한다는 것이다. $$ n \ge n_{0} \implies x_{n} \in O $$

설명

수렴하지 않는다고 해서 굳이 발산한다^diverge는 것을 따로 정의하지는 않았음에 주의하도록 하자.

위상공간이 되었다고 해도 여전히 집적점은 정의할 수 있고, 말만 보면 사실 다른 게 거의 없다. 거리공간에서의 정의와 달라진 것은 없지만 개념적으로는 다소 차이가 있는 것이, 거리공간에서 ‘모든 열린 집합’이라고는 하지만 실제로는 그 구간을 ‘좁혀가는’ 느낌이었던 것과 달리 위상공간에선 정말 말 그대로 온갖 종류의 열린 집합을 상정해야한다.

$A$ 가 $X$ 에서 닫힌 집합이라는 것은 $ A ' \subset A$ 와 동치로, 닫힌 집합과 집적점의 정의에서 어렵지 않게 증명할 수 있다. 좀 더 깔끔하게는 $\overline{A} = A \cup a '$ 이므로 $A = \overline{A}$ 으로 나타낼 수도 있다. 특히 거리 공간에서는 다음과 같은 정리로 표현된다.

정리

거리공간 $(X,d)$ 에서 $K \subset X$ 라고 하자.

• [1]: $x \in X$ 가 $K$ 의 집적점 $\iff$ $x$ 로 수렴하는 $K$ 의 서로 다른 점들의 수열이 존재한다.
• [2]: $K$ 는 $X$ 에서 닫힌 집합 $\iff$ $K$ 의 모든 수렴하는 수열들은 $K$ 의 점으로 수렴한다.