📂거리공간

거리공간에서 완비성과 조밀성

정의 ¹

거리공간 $\left( X , d \right)$ 에 대해 $A \subset X$ 라고 하자.

1. $X$ 의 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$ 이 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $n,m > n_{0}$ 일때마다 $d(x_{n} , x_{m}) < \varepsilon$ 을 만족하는 자연수 $n_{0}$ 가 존재하면 코시 수열^{cauchy sequence}이라고 한다.
2. $\left( X , d \right)$ 상의 코시 수열의 수렴하는 점들이 $X$ 에 속하면 $\left( X , d \right)$ 를 완비하다^complete고 하고 그렇지 않을 경우 불완비하다^incomplete고 한다.
3. $\overline{A} = X$ 일 때, $A$ 가 $X$ 에서 조밀하다^dense고 한다.
4. $\left( \overline{A} \right) ^{\circ} = \emptyset$ 일 때, $A$ 가 $X$ 에서 어디에서도 조밀하지 않다^{nowhere dense}고 한다.
5. $X$ 가 $X$ 의 가산^countably개수만큼 많은 어디에서도 조밀하지 않은 부분집합들의 합집합으로 나타낼 수 있으면 $\left( X , d \right)$ 를 제1범주^{first category}, $\left( X , d \right)$가 제1범주가 아니면 제2범주^{second category}라고 부른다.

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• $\overline{A}$ 과 $A^{\circ}$ 은 각각 $A$ 의 클로져, 인테리어다.

설명

완비성

완비성이란 개념은 닫혀있다는 개념과 매우 흡사해 보이는 것으로, 보통 위상수학을 접하기 전엔 오히려 이것을 닫힌 것으로 이해하는 경우가 많다. 정의만 읽고 바로 알 수 있는 차이는 완비에선 전공간의 개념이 필요 없으며, 닫혀있음은 전공간이 주어져야 알수 있다는 것이다.

예를 들어 $[a,b)$ 의 전공간을 $[a,b)$ 로 주면 $[a,b)$ 전공간이므로 닫힌 집합이 된다. 하지만 $[a,b)$ 상에는 $b$ 로 수렴하는 코시 수열이 존재하므로 전공간이 무엇이든 $[a,b)$ 는 불완비하다.

그러나 완비성이란 이러한 직관적인 이해보다 더 중요한 개념을 내포하고 있다. 바로 우리가 관심 있는 공간의 우리가 관심 있는 수열이 우리가 관심 있는 원소로 수렴한다는 것이다. 공간이 완비성을 갖지 않는다는 것은 답이 실수여야하는 방정식의 해가 허근으로 구해지는 것에 비유할 수 있을 것이다. 그 답이 무엇이든 우리가 원하는 형태가 아니면 쓸모 없고, 완비성이란 그것을 보장하고 있는 것이다.

해석학에서 완비성 공리를 처음 접할때는 그 성질이 왜 Completeness라 불리는지 이해하기 어려웠다. 일상 속에서 영단어 Complete는 완전히(完) 갖춘다(備)라는 표현으로써 사용하지는 않고, ‘완료’나 ‘완결’ 등 이어지는 무언가의 그 끝과 함께 사용되는 경우가 많기 때문이다. 이제 일반화된 완비성의 정의를 살펴보면 수열의 그 끝, 즉 수렴점이 (그 공간 안에) 존재함을 보장한다는 점에서 complete라는 표현이 적절함을 알 수 있다.

조밀성

조밀성은 새로 배운다기보단 직관적으로 받아들여왔던 개념을 위상수학답게 생각해보는 것으로 충분하다. 저러한 표현은 깔끔하지만 실제로 고민하거나 써먹을 땐 풀어서 설명하는 게 더 좋다. 다른 표현으로 모든 열린 집합 $O \subset X$ 에 대해 $A \cap O \ne \emptyset$ 이면 $A$ 가 $X$ 에서 조밀하다는 것이 있다. 후에 조밀성이라는 개념은 가분 공간이라는 개념으로 이어져 어떤 수열을 잡을 수 있느냐 없느냐라는 중요한 문제에 봉착하게 된다.

거리 공간은 수학적인 중요도 그 이전에 개념적으로도 우리 인류에게 가장 직관적으로 다가온다. 당연히 거리 공간에 대한 연구도 많고 완비성에 대한 논의도 위와 같이 수많은, 아주 수 많은 성질들이 있다.

범주

베르의 범주 정리: 모든 완비거리공간은 그 스스로를 전체집합으로 보았을 때 제2범주다.

범주에 대해서는 실제로 이론이 전개되는 걸 보기 전까진 정의조차도 왜 있는지 이해하기 어려운데, 당장은 앞으로 배우면서 알아가는 수밖에 없다. 베르의 범주 정리에서 그 스스로를 전체집합으로 하든 자기자신을 부분집합으로 간주할때든 그런 말보다는 ‘완비성’에 역점을 두도록 하자.