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원자 이웃

정의¹

$N$개의 원자로 이루어진 계가 있고, $k$번째 원자의 위치를 $\mathbf{x}_{k} \in \mathbb{R}^{3}$라 하자. 컷오프 반경^{cutoff radius} $r_{c} \gt 0$이 주어졌다고 하자. 원자 $k$로부터 거리 $r_{c}$ 이내에 있는 다른 원자들을 원자 $k$의 이웃 원자^{neighbor atom}라 하자.

원자 $k$에서 $k$의 이웃 원자들로 향하는 상대 위치 벡터들의 집합을 원자 $k$의 원자 이웃^{atomic neighborhood}이라 한다.

$$ \mathcal{N}_{k} = \left\{ \mathbf{u}_{i} \right\}_{i \in \mathcal{I}_{k}}, \qquad \mathbf{u}_{i} = \mathbf{x}_{i} - \mathbf{x}_{k} $$

$$ \mathcal{I}_{k} = \left\{ i : 0 \lt \left| \mathbf{x}_{i} - \mathbf{x}_{k} \right| \le r_{c} \right\} $$

설명

원자 이웃은 (국소) 원자 환경^{(local) atomic environment}이라 불리기도 한다. 위 정의는 명목상의 정의로, 필요에 따라 인덱스 집합 $\mathcal{I}_{k}$를 원자 이웃이라 정의할 수도 있고, 각 이웃 원자의 원자 번호 $Z_{i}$를 함께 묶어 $\left\{ \left( \mathbf{u}_{i}, Z_{i} \right) \right\}_{i \in \mathcal{I}_{k}}$를 원자 이웃으로 둘 수도 있다.

원자 이웃을 정의하는 이유는 원자간 퍼텐셜의 국소성 가정 때문이다. 계의 전체 에너지를 원자마다 그 이웃만 보고 정해지는 에너지의 합으로 근사한다는 가정으로, 이 가정 아래에서는 원자 하나의 에너지를 계산할 때 원자 이웃만 보면 되므로 계산량이 원자 수 $N$에 비례한다. 콘-샴 밀도범함수이론 계산의 계산량이 $N^{3}$에 비례하는 것과 대조적이다. 따라서 원자 이웃은 원자간 퍼텐셜, 원자 기술자, 원자 그래프 신경망이 공통으로 입력받는 기본 단위가 된다.

$$ E_{\text{tot}} = E_{1} + E_{2} + \cdots E_{N} $$

그래프 구조

각 원자를 정점으로, 서로 이웃인 원자 쌍을 에지로 보면 원자계를 그래프로 나타낼 수 있다.

$$ V = \left\{ 1, \dots, N \right\}, \qquad E = \left\{ \left\{ i, k \right\} : 0 \lt \left| \mathbf{x}_{i} - \mathbf{x}_{k} \right| \le r_{c} \right\} $$

거리는 대칭이므로 $i \in \mathcal{I}_{k}$이면 $k \in \mathcal{I}_{i}$이고, 이 그래프는 무방향 그래프다. 원자 $k$의 이웃 원자의 수 $\left| \mathcal{I}_{k} \right|$는 정점 $k$의 차수와 같다.

동치 관계

원자 이웃의 원소에 번호를 붙여 $\mathcal{N} = (\mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n})$과 같이 나열하자. 이웃 원자의 수가 $n$으로 같은 두 원자 이웃 $\mathcal{N}$, $\mathcal{N}^{\prime} = (\mathbf{u}_{1}^{\prime}, \dots, \mathbf{u}_{n}^{\prime})$에 대해, 어떤 직교행렬 $Q \in \operatorname{O}(3)$과 순열 $\sigma \in S_{n}$이 존재하여 다음을 만족하면 $\mathcal{N} \sim \mathcal{N}^{\prime}$이라 쓰고 동치라 한다.

$$ \mathbf{u}_{i}^{\prime} = Q\mathbf{u}_{\sigma(i)},\quad \forall i = 1, \dots, n $$

$\mathcal{N} \sim \mathcal{N}^{\prime}$은 두 원자 이웃이 좌표계를 고르는 방식과 원자에 번호를 붙이는 방식만 다를 뿐, 물리적으로는 같은 원자 환경이라는 의미이다. 따라서 원자 이웃을 입력받는 함수, 예를 들어 🔒(26/11/07)원자간 퍼텐셜이나 🔒(26/11/19)원자 기술자는 같은 동치류에 속하는 원자 이웃에 같은 값을 주어야 한다.

같이 보기

• 🔒(26/11/07)원자간 퍼텐셜
• 🔒(26/11/13)원자계의 대칭성
• 🔒(26/11/19)원자 기술자