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모멘트 텐서 퍼텐셜

개요 및 요약

모멘트 텐서 퍼텐셜^{moment tensor potential}은 2016년 Alexander V. Shapeev가 제안한 🔒(26/11/17)기계학습 원자간 퍼텐셜의 한 종류이다. 논문 「Moment Tensor Potentials: a class of systematically improvable interatomic potentials」¹에서 국소적인 원자 환경을 모멘트 텐서로 기술하고, 텐서 축약을 통해 🔒(26/11/13)회전 불변성을 만족하는 스칼라 다항식 기저를 구성하는 방식을 제안하였다.

밀도범함수이론 같은 양자역학 계산은 정확하지만 원자 수 $N$에 대해 $\mathcal{O}(N^{3})$의 비용이 들기 때문에, 큰 계에서는 🔒(26/11/07)원자간 퍼텐셜을 쓴다. 저자는 🔒(26/12/11)레너드-존스 퍼텐셜 등의 🔒(26/11/07)경험적 퍼텐셜 모두 함수꼴이 고정되어 정확도를 체계적으로 높일 수 없다고 지적하고, 기저를 늘려 원하는 정밀도로 근사할 수 있는 퍼텐셜을 제안한다. 이때 🔒(26/11/05)원자 환경 $\mathbf{u} = (\mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n})$에 대한 퍼텐셜 $V(\mathbf{u})$는 다음의 세 조건을 만족해야 한다.

• (R1) 이웃 원자들의 순서를 바꿔도 값이 같다(순열 불변).
• (R2) 모든 $Q \in \operatorname{O}(3)$에 대해 $V(Q\mathbf{u}_{1}, \dots, Q\mathbf{u}_{n}) = V(\mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n})$이다(회전, 반사 불변).
• (R3) 원자가 컷오프 반경 경계를 드나들 때 매끄럽다.

핵심 아이디어는 다음과 같다. 매끄러운 $V$는 다항식으로 근사할 수 있으므로 , (R1)과 (R2)를 만족하는 다항식들을 구성하는 방법을 생각하는 것이다. 이를 위한 것이 모멘트 텐서이다.

$$ M_{\mu, \nu}(\mathbf{u}) = \sum_{i=1}^{n} \left| \mathbf{u}_{i} \right|^{2\mu} \mathbf{u}_{i}^{\otimes \nu} $$

모멘트 텐서는 합 하나로 계산되므로 원자 수 $n$에 대해 선형 시간이 걸린다. 이 텐서들의 첨자를 서로 축약하여 회전 불변인 스칼라 $B_{\alpha}$를 만들고, 그 선형결합으로 퍼텐셜을 정의한다. $B_{\alpha}$에 대한 자세한 설명은 아래의 본문을 참고하라.

$$ V(\mathbf{u}) = \sum_{\alpha \in \mathcal{A}} c_{\alpha} B_{\alpha}(\mathbf{u}) $$

논문의 주요 결과는 다음과 같다.

• 정리 3.1: $B_{\alpha}$들은 순열 불변이면서 회전 불변인 다항식 전체의 공간을 생성한다. 즉 적절한 인덱스 집합 $\mathcal{A}$가 존재하여 $B_{\alpha}$들의 선형결합으로 원자간 퍼텐셜 $V$를 나타낼 수 있다.

• 정리 3.2: 간단한 강결합^{tight-binding} 모델의 site energy를 차수 $m$인 불변 다항식으로 근사하면 오차가 $C\rho^{-m}$ $(\rho \gt 1)$로 줄어든다.

• $V$가 계수 $c_{\alpha}$에 대해 선형이므로 계수는 선형회귀로 학습한다.

• 실제 구현에서는 (R3)을 만족시키기 위해 $\left| \mathbf{u}_{i} \right|^{2\mu}$를 🔒(26/11/07)컷오프 함수가 곱해진 반지름 함수 $f_{\mu, \nu}(\left| \mathbf{u}_{i} \right|)$로 바꾼다.

정의

$N$개의 원자로 이루어진 계의 원자 위치를 $\mathbf{x} = (\mathbf{x}_{1}, \dots, \mathbf{x}_{N}) \in (\mathbb{R}^{3})^{N}$이라 하고, 컷오프 반경 $r_{c}$에 대한 원자 $k$의 🔒(26/11/05)원자 이웃을 $\mathcal{N}_{k}$라 하자.

$$ \mathcal{N}_{k} = \left\{ \mathbf{u}_{i} \right\}_{i \in \mathcal{I}_{k}}, \quad \mathbf{u}_{i} = \mathbf{x}_{i} - \mathbf{x}_{k}, \quad \mathcal{I}_{k} = \left\{ i : 0 \lt \left| \mathbf{x}_{i} - \mathbf{x}_{k} \right| \le r_{c} \right\} $$

다음과 같이 아래에서 정의하는 기저 다항식 $B_{\alpha}$의 선형결합으로 나타나는 🔒(26/11/07)원자간 퍼텐셜 $V$를 모멘트 텐서 퍼텐셜^{moment tensor potential, MTP}이라 한다.

$$ E(\mathbf{x}) = \sum_{k=1}^{N} V(\mathcal{N}_{k}), \qquad V(\mathcal{N}_{k}) = \sum_{\alpha \in \mathcal{A}} c_{\alpha} B_{\alpha}(\mathcal{N}_{k}) $$

여기서 $\mathcal{A}$는 미리 정해 둔 행렬 인덱스 $\alpha$들의 유한집합, $c_{\alpha} \in \mathbb{R}$는 학습으로 정하는 계수이다.

논문에서의 표기법

논문은 같은 내용을 다음과 같이 표기한다.

대상	이 글	논문
원자 수	$N$	$N_{\text{tot}}$
원자 위치	$\mathbf{x}_{k}$	$x_{k}$
컷오프 반경	$r_{c}$	$R_{\text{cut}}$
원자 $k$의 원자 이웃	$\mathcal{N}_{k}$ (집합)	$Dx_{k}$ (튜플), 원자 환경atomic environment
원자 이웃을 변수로 쓸 때	$\mathcal{N}_{k} = \left\{ \mathbf{u}_{i} \right\}_{i \in \mathcal{I}_{k}}$	$u = (u_{1}, \dots, u_{n})$
벡터의 크기	$\left\Vert \mathbf{u}_{i} \right\Vert$	$\left\vert u_{i} \right\vert$

원자 환경과 에너지는 다음과 같다.

$$ Dx_{k} := (x_{i} - x_{k})_{1 \le i \le N_{\text{tot}},\ 0 \lt \left\vert x_{i} - x_{k} \right\vert \le R_{\text{cut}}} \tag{2.1} $$

$$ E(x) := \sum_{k=1}^{N_{\text{tot}}} V(Dx_{k}) \tag{2.2} $$

$$ V(u) = \sum_{\alpha \in A} c_{\alpha} B_{\alpha}(u) $$

논문은 원자 이웃을 튜플로 두기 때문에 $V$를 인자 개수가 서로 다른 함수들의 모임으로 보고, 그 대신 순열 불변성 (R1)을 따로 요구한다. 이 글처럼 집합으로 두면 순서가 없으므로 순열 불변성이 표기에 이미 담긴다. 또한 논문은 공간의 차원을 일반적인 $d$로 두고 전개하지만, 이 글은 $d = 3$으로 고정한다.

모멘트 텐서 $M_{\mu, \nu}$

$N$개의 원자로 이루어진 계에서 원자 하나를 고정하자. 고정한 원자로부터 반경 $r_{c}$ 안에 있는 $n$개의 원자들의 상대 위치벡터를 $\mathbf{u}_{i}$ $(i = 1, \dots, n)$라 하고, 이들을 모은 튜플을 $\mathbf{u} = (\mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n}) \in (\mathbb{R}^{3})^{n}$이라 하자. 두 정수 $\mu$, $\nu \ge 0$에 대해 다음과 같이 정의되는 $M_{\mu, \nu}$를 $\mathbf{u}$의 모멘트 다항식^{moment polynomial}이라 한다.

$$ M_{\mu, \nu}(\mathbf{u}) = \sum_{i = 1}^{n} \left| \mathbf{u}_{i} \right|^{2\mu} \mathbf{u}_{i}^{\otimes \nu} $$

여기서 $\mathbf{v} \otimes \mathbf{w}$는 아래와 같이 정의되는 텐서곱이고, $\mathbf{v}^{\otimes \nu}$는 이것을 $\nu$회 반복한 것이다.

$$ \mathbf{v} \otimes \mathbf{w} = \left[ v_{i}w_{j} \right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3}, \quad i,j \in \set{1, 2, 3} $$

$$ \mathbf{v}^{\otimes \nu} = \left[ v_{i_{1}} \cdots v_{i_{\nu}} \right] \in \mathbb{R}^{\overbrace{3 \times \cdots \times 3}^{\nu}}, \quad i_{1}, \dots, i_{\nu} \in \set{1, 2, 3} $$

즉 $\mathbf{v}^{\otimes \nu}$는 첨자의 개수가 $\nu$개인 고차원 배열이다. $\mu$는 각 위치벡터의 크기에 대한 가중치이고, $\nu$는 모멘트 텐서의 차원을 결정한다. 위 식을 보면 알 수 있듯이 모멘트 텐서의 차원은 $\nu$에만 의존한다. $\nu = 0$일 때는 $1$으로 정의한다.

$\nu$	$\mathbf{v}^{\otimes \nu}$	성분	대상?
$0$	$1$	$1$	스칼라
$1$	$\mathbf{v}$	$v_{i}$	벡터
$2$	$\mathbf{v} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{v}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}$	$v_{i} v_{j}$	$3 \times 3$ 행렬
$3$	$\mathbf{v} \otimes \mathbf{v} \otimes \mathbf{v}$	$v_{i} v_{j} v_{k}$	$3 \times 3 \times 3$ 배열

기저 다항식 $B_{\alpha}$

두 벡터의 내적은 각 성분끼리 곱한 뒤 모두 더한 값이다.

$$ \braket{\mathbf{u} \vert \mathbf{v}} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3} = \sum_{i=1}^{3} u_{i} v_{i} \tag{asdf} $$

이와 비슷하게 $k$개의 모멘트 텐서 $M$의 각 성분끼리 곱한 뒤 모두 더하는 일반적인 연산을 정의하려 한다. $\alpha$를 $0$ 이상의 정수를 성분으로 갖는 $k \times k$ 대칭행렬이라고 하자. 대각성분을 $\mu_{i} = \alpha_{ii}$라 표기하고, $i$행의 모든 비각성분의 합을 $\nu_{i} = \sum_{j \ne i} \alpha_{ij}$라 표기하자. 짐작하듯이 이는 각각 모멘트 텐서 $M_{\mu, \nu}$의 인덱스를 의미한다. $\alpha$의 비대각성분 $\alpha_{ij}$는 $i$번째 모멘트 텐서와 $j$번째 모멘트 텐서가 공유하는 인덱스 개수를 의미한다. 여기서 공유하는 인덱스라는 것은 식 $(asdf)$의 우변에서와 같이 합기호 내에서 같은 첨자를 의미한다.

구체적인 예시로 $\alpha = \begin{bmatrix} \mu_{1} & 1 \\ 1 & \mu_{2} \end{bmatrix}$를 생각하자. $\alpha$의 크기가 $2 \times 2$이므로 모멘트 텐서가 두 개 있다는 의미이고, $\nu_{1} = \nu_{2} = 1$이므로 각각 벡터이다. 편의상 $\mathbf{u}$를 생략하자.

$$ M_{\mu_{1}, 1}, M_{\mu_{2}, 1} \in \mathbb{R}^{3} $$

$\alpha = \begin{bmatrix} \mu_{1} & 2 \\ 2 & \mu_{2} \end{bmatrix}$이면 행렬인 모멘트 텐서가 두 개 있다는 의미이다.

$$ M_{\mu_{1}, 2}, M_{\mu_{2}, 2} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} $$

마지막으로 $\alpha = \begin{bmatrix} \mu_{1} & 1 & 1 \\ 1 & \mu_{2} & 0 \\ 1 & 0 & \mu_{3} \end{bmatrix}$이면 모멘트 텐서가 세 개 있다는 의미이고, $\nu_{1} = 2$, $\nu_{2} = 1$, $\nu_{3} = 1$이므로 각각 행렬 하나와 벡터 두 개이다.

$$ M_{\mu_{1}, 2} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}, \quad M_{\mu_{2}, 1}, M_{\mu_{3}, 1} \in \mathbb{R}^{3}, \quad $$

인덱스 집합 $\mathcal{B}$

이제 주어진 $\alpha$에 대해서 인덱스 집합 $\mathcal{B} = \mathcal{B}(\alpha)$를 정의할 것이다. $\mathcal{B}$는 $k$개의 모멘트 텐서의 각 성분끼리 곱한 뒤 모두 더할 때, 합기호가 적용될 첨자들의 집합이다. 앞선 설명에서 $\alpha$의 비대각 성분 $\alpha_{ij}$는 $i$번째 모멘트 텐서와 $j$번째 모멘트 텐서가 공유하는 인덱스 개수라고 했다. $\alpha = \begin{bmatrix} \mu_{1} & 2 \\ 2 & \mu_{2} \end{bmatrix}$이면 두 모멘트 텐서가 공유하는 인덱스가 두개 이므로, 그 각각을 $\beta_{1}^{(1,2)}$, $\beta_{2}^{(1,2)}$라 하자. 일반적으로 $i$번째 모멘트 텐서와 $j$번째 모멘트 텐서가 공유하는 인덱스들을 아래와 같이 나타낼 수 있다. 인덱스 공유는 대칭이므로 $\beta_{m}^{(j,i)} = \beta_{m}^{(i,j)}$이다.

$$ \beta_{1}^{(i,j)}, \dots, \beta_{\alpha_{ij}}^{(i,j)} $$

$i$번째 모멘트 텐서의 성분은 아래와 같이 표현된다. 표기가 복잡하므로 $i$번째 모멘트 텐서의 인덱스들의 순서쌍을 간단히 $b_{i}$라 하자.

$$ \left[ M_{\mu_{i}, \nu_{i}} \right]_{b_{i}} = \left[ M_{\mu_{i}, \nu_{i}} \right]_{\beta_{1}^{(i,1)}, \dots, \beta_{\alpha_{i1}}^{(i,1)}, \dots, \beta_{1}^{(i,i-1)}, \dots, \beta_{\alpha_{i,i-1}}^{(i,i-1)}, \beta_{1}^{(i,i+1)}, \dots, \beta_{\alpha_{i,i+1}}^{(i,i+1)}, \dots, \beta_{1}^{(i,k)}, \dots, \beta_{\alpha_{ik}}^{(i,k)} } $$

$$ b_{i} = (\beta_{1}^{(i,1)}, \dots, \beta_{\alpha_{i1}}^{(i,1)}, \dots, \beta_{1}^{(i,i-1)}, \dots, \beta_{\alpha_{i,i-1}}^{(i,i-1)}, \beta_{1}^{(i,i+1)}, \dots, \beta_{\alpha_{i,i+1}}^{(i,i+1)}, \dots, \beta_{1}^{(i,k)}, \dots, \beta_{\alpha_{ik}}^{(i,k)} ) $$

전체 모멘트 텐서의 인덱스는 $b = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k})$로 나타낼 수 있다. $3$차원이라 가정했으므로 각각의 $\beta_{m}^{(i,j)}$는 $1$, $2$, $3$의 값을 가질 수 있고, 이 모든 가능한 조합들의 집합을 $\mathcal{B}$라 하자.

$$ \mathcal{B} = \left\{ b = (b_{1}, \dots, b_{k}) : \beta_{m}^{(i,j)} \in \set{1, 2, 3},\ 1 \le i \lt j \le k,\ 1 \le m \le \alpha_{ij} \right\} $$

인덱스 집합을 형식적으로 설명하기 위해 정의는 좀 복잡하지만 실제 예시를 보면 어렵지 않다. $\alpha = \begin{bmatrix} \mu_{1} & 1 \\ 1 & \mu_{2} \end{bmatrix}$이면 모멘트 텐서는 벡터 두 개이고 공유하는 인덱스는 하나이다.

$$ b_{1} = (\beta_{1}^{(1,2)}) = b_{2} $$

$$ \mathcal{B} = \set{ \big((\beta_{1}^{(1,2)}), (\beta_{1}^{(1,2)})\big) : \beta_{1}^{(1,2)} \in \set{1, 2, 3} } = \set{ ((1),(1)), ((2),(2)), ((3),(3)) } $$

$\alpha = \begin{bmatrix} \mu_{1} & 2 \\ 2 & \mu_{2} \end{bmatrix}$이면 모멘트 텐서는 행렬 두 개이고 공유하는 인덱스는 두 개이다.

$$ b_{1} = (\beta_{1}^{(1,2)}, \beta_{2}^{(1,2)}) = b_{2} $$

$$ \begin{align*} \mathcal{B} &= \set{ \big( (\beta_{1}^{(1,2)}, \beta_{2}^{(1,2)}), (\beta_{1}^{(1,2)}, \beta_{2}^{(1,2)}) \big) : \beta_{1}^{(1,2)}, \beta_{2}^{(1,2)} \in \set{1, 2, 3} } \\ &= \big\{ \big( (1, 1), (1, 1) \big), \big( (1, 2), (1, 2) \big), \big( (1, 3), (1, 3) \big), \\ &\qquad \big( (2, 1), (2, 1) \big), \big( (2, 2), (2, 2) \big), \big( (2, 3), (2, 3) \big), \\ &\qquad \big( (3, 1), (3, 1) \big), \big( (3, 2), (3, 2) \big), \big( (3, 3), (3, 3) \big) \big\} \end{align*} $$

아무튼 $\mathcal{B}$는 모든 모멘트 텐서들의 가능한 모든 인덱스들의 집합이고, 정의를 위한 정의이니 이해가 잘 되지 않더라도 너무 정의 그 자체에 매몰되지 말자. 아래에서 실제 기저 다항식이 어떻게 더해지는지를 보면 그 의미가 와닿을 것이다.

텐서 축약을 통한 기저 다항식 정의

위의 인덱스 집합 정의를 바탕으로, 기저 다항식 $B_{\alpha}$를 다음과 같이 정의한다.

$$ B_{\alpha} := \sum_{b \in \mathcal{B}} \prod_{i=1}^{k} \left[ M_{\mu_{i}, \nu_{i}} \right]_{b_{i}} $$

$\alpha = \begin{bmatrix} \mu_{1} & 1 \\ 1 & \mu_{2} \end{bmatrix}$이면 첫번째 모멘트 텐서와 두번째 모멘트 텐서가 공유하는 인덱스 하나 $\beta_{1}^{(1,2)}$가 전부이다. 기저 다항식은 두 벡터의 내적과 같다.

$$ B_{\alpha} = \sum_{\beta_{1}^{(1,2)} = 1}^{3} \left[ M_{\mu_{1}, 1} \right]_{\beta_{1}^{(1,2)}} \left[ M_{\mu_{2}, 1} \right]_{\beta_{1}^{(1,2)}} = \braket{ M_{\mu_{1}, 1} \vert M_{\mu_{2}, 1} } = M_{\mu_{1}, 1} \cdot M_{\mu_{2}, 1} $$

$\alpha = \begin{bmatrix} \mu_{1} & 2 \\ 2 & \mu_{2} \end{bmatrix}$이면 두 모멘트 텐서가 공유하는 인덱스가 두 개로 $\beta_{1}^{(1,2)}$, $\beta_{2}^{(1,2)}$이다. 기저 다항식은 두 행렬의 (프로베니우스) 내적과 같다.

$$ B_{\alpha} = \sum_{\beta_{1}^{(1,2)} = 1}^{3} \sum_{\beta_{2}^{(1,2)} = 1}^{3} \left[ M_{\mu_{1}, 2} \right]_{\beta_{1}^{(1,2)}, \beta_{2}^{(1,2)}} \left[ M_{\mu_{2}, 2} \right]_{\beta_{1}^{(1,2)}, \beta_{2}^{(1,2)}} = \braket{ M_{\mu_{1}, 2} \vert M_{\mu_{2}, 2} }_{F} $$

$\alpha = \begin{bmatrix} \mu_{1} & 1 & 1 \\ 1 & \mu_{2} & 0 \\ 1 & 0 & \mu_{3} \end{bmatrix}$이면 인덱스는 두 개이고, 두 벡터 $M_{\mu_{2}, 1}$, $M_{\mu_{3}, 1}$와 행렬 $M_{\mu_{1}, 2}$의 쌍선형형식이다.

$$ \begin{align*} B_{\alpha} &= \sum_{\beta_{1}^{(1,2)} = 1}^{3} \sum_{\beta_{1}^{(1,3)} = 1}^{3} \left[ M_{\mu_{1}, 2} \right]_{\beta_{1}^{(1,2)}, \beta_{1}^{(1,3)}} \left[ M_{\mu_{2}, 1} \right]_{\beta_{1}^{(1,2)}} \left[ M_{\mu_{3}, 1} \right]_{\beta_{1}^{(1,3)}} \\ &= M_{\mu_{2},1}^{\mathsf{T}} M_{\mu_{1},2} M_{\mu_{3},1} \end{align*} $$

표현가능성 정리

진술

$n$개의 벡터 $\mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n} \in \mathbb{R}^{3}$의 성분, 즉 $3n$개의 실수 변수에 대한 다항식 전체의 집합을 $\mathcal{P}$라 하자. $\mathcal{P}$의 부분집합 $\mathcal{P}_{\text{perm}}$, $\mathcal{P}_{\text{rot}}$를 다음과 같이 정의하자.

$$ \begin{align*} \mathcal{P}_{\text{perm}} &= \set{ p \in \mathcal{P} : p(\mathbf{u}_{\sigma(1)}, \dots, \mathbf{u}_{\sigma(n)}) = p(\mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n}),\ \forall \sigma \in S_{n} } \\ \mathcal{P}_{\text{rot}} &= \set{ p \in \mathcal{P} : p(Q\mathbf{u}_{1}, \dots, Q\mathbf{u}_{n}) = p(\mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n}),\ \forall Q \in \operatorname{O}(3) } \end{align*} $$

즉 $\mathcal{P}_{\text{perm}}$는 순열 불변 다항식들의 집합이고, $\mathcal{P}_{\text{rot}}$는 회전, 반사 불변 다항식들의 집합이다. 그러면 기저 다항식 $B_{\alpha}$들은 $\mathcal{P}_{\text{rot}} \cap \mathcal{P}_{\text{perm}}$의 생성집합이다. 즉 임의의 $p \in \mathcal{P}_{\text{rot}} \cap \mathcal{P}_{\text{perm}}$는 $B_{\alpha}$들의 유한한 선형결합으로 나타낼 수 있다. 단, 그 선형결합은 일반적으로 유일하지 않다.

$$ p(\mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n}) = \sum_{\alpha \in \mathcal{A}} c_{\alpha} B_{\alpha}(\mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n}) $$

설명

논문의 정리 3.1이다. 순열 불변이면서 회전, 반사 불변인 다항식은 $B_{\alpha}$들의 선형결합으로 정확히 나타낼 수 있다는 의미이다. 이 정리가 MTP의 근거가 되는 이유는 다음과 같다. 원자간 퍼텐셜 $V$를 매끄러운 함수라고 가정하면, $V$는 바이어슈트라스 근사 정리에 의해 다항식으로 근사할 수 있다. 이때 근사하는 다항식도 $V$와 같은 대칭성을 갖도록 고를 수 있고², 그러한 다항식은 이 정리에 의해 $B_{\alpha}$들의 선형결합으로 나타난다. 따라서 $\mathcal{A}$를 충분히 크게 잡으면 $V$를 원하는 정밀도로 근사할 수 있다.

$$ V(\mathbf{u}) \approx \sum_{\alpha \in \mathcal{A}} c_{\alpha} B_{\alpha}(\mathbf{u}) $$

즉 각각의 $B_{\alpha}$가 $\mathcal{P}_{\text{rot}} \cap \mathcal{P}_{\text{perm}}$에 속한다는 것은 정의로부터 바로 보인다. 모멘트 텐서 $M_{\mu, \nu}$는 모든 이웃 원자에 대한 합이므로 이웃 원자의 순서와 무관하고, $\mathbf{u}_{i}$를 $Q\mathbf{u}_{i}$로 바꾸면 텐서로서 함께 회전한다. $B_{\alpha}$는 이런 텐서들의 첨자를 남김없이 축약한 스칼라이므로, 벡터의 내적이 회전에 대해 불변인 것과 같은 이유로 불변이다.

이름은 기저 다항식이지만 선형결합이 유일하지 않다는 것은 $B_{\alpha}$들이 선형독립이 아니라는 뜻이므로, 선형대수에서 말하는 기저는 아니다. 예를 들어 $\alpha$의 행과 열을 같은 순열로 섞어도 같은 $B_{\alpha}$가 나온다.